有理数

日期: 2022-12-28 18:04 查看: 459 次

**引言**
“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中有理数的英文是rational number，而rational常规的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”英文是irrational number （ir-在英文的词根里是取反的意思），就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

理解上面的历史缘由很重要，这样你就能明白为什么无理数是作为有理数的反面而提出的。

最开始，大家都觉得全世界的所有数都可以写成两个整数的比。但是有个叫西帕索斯的证明了根号2不可能是两个整数的比。而他的证明可以推广到很多数上。那么人们就想着，我们区分一下两种数吧。第一种数可以写成两个整数的比，看起来很合理，就叫有理数吧。这种没法写成两个整数比的数，虽然确实存在，但是看起来很不合理，我们就管它们叫无理数吧。因此，数学上先是把可以表为整数之比的数定义为有理数，然后又发现并非所有数都可以这样地表为整数之比，就把他称呼为无理数。 因此，问「无理数为什么不能写作两个整数之比」就跟问「负数为什么小于零」一样毫无意义。

**正数和负数**
1.大于0都数是正数。
2.小于0的数是负数。负数也可以定义为在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.
3.用正、负数表示具有相反意义的量

**数0的认识**
(1) 0既不是正数也不是负数。
(2) 0是正数和负数的分界点。0没有倒数，0乘任何数都等于0。0不能作为分母或者除数。
(3) 0不仅可以表示没有，还可以表示一个基准。例如温度为0度是指冰水混合物的温度，还不0米表示以海平面为基准。
(4) 0是最小的自然数，0是整数也是偶数。

**有理数**

整数和分数统称有理数

**有理数的分类**

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228135c2e8.png)

**数轴**
(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴
(2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.

**4.相反数**
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数
（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等
（3）互为相反数的两个数的和为0。

**5.绝对值**
（1）一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值
（2）一个正数的绝对值是它本身.
一个负数的绝对值是它的相反数.
0的绝对值是0.

**6.有理数大小的比较**
(1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．
2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小．

**三、有理数的运算**
1.有理数的加法
2.有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3.有理数的乘法
4.有理数的除法 除以一个数，等于乘以这个数的倒数
5.有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方

![图片](/uploads/2022-12/image_202212289d6162e.png)

**6.有理数的混合运算**
(1)先乘方，再乘除，最后加减；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

**四、科学记数法**
把大于10的数记成$a×10^n$的形式，其中
1)1≤a＜10
2)n为原数的整数位减去1

**五、近似数**
1．按照要求取近似数
四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那一位．
2．由近似数判断精确度

**六、有理数小结**
![图片](/uploads/2022-12/image_202212284a0c25a.png)

**考点一  正、负数的意义**
问：如果-4米表示向东走4米，那么向西走2米记作____

【解析】根据题意，可知向东记为负，向西记为正，故向西走2米记做+2米.
总结：根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示. 一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负

1.下列语句中，含有相反意义的两个量是（   C   ）
A.盈利1千元和收入2千元
B.上升8米和后退8米
C.存入1千元和取出2千元
D.超过2厘米和上涨2厘米

上升9记作+9，那么下降8记作: -8

**考点二  正、负数的概念**
例2  判断下列说法是否正确
①不带“－”号的数都是正数
②如果a是正数，那么－a一定是负
③不存在既不是正数，也不是负数的数
④一个有理数不是正数就是负数
⑤ 0℃表示没有温度

解析：①0不带“－”号，但0不是正数，故①错误；②正数的相反数是负数，故②正确；③同①，故③错误；④同③，故④错误；⑤0℃并不是表示没有温度，它是介于正温度与负温度之间，故⑤错误.

总结：    0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.
0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.

**考点三  有理数的分类**

例 3 将下列各数分别填入下列相应的圈内:

$$
3.5,-3.5,0,|-2|,-2,-1 \frac{3}{5},-\frac{1}{3}, 0.5
$$

整数：$0,|-2|,-2$
分数：$3.5,-3.5  -1 \frac{3}{5},-\frac{1}{3}, 0.5  $

在 $+3.5,0,11,-2,-\frac{2}{3},-0.7$ 中, 负分数有 __个.
【解析】负分数不仅是负数而且是分数, 注意 小数也属于分数. 故只有2个.

**考点四  相反数、倒数、绝对值**
例4   填表

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228373678c.png)

4. $-\frac{1}{3}$ 的倒数是 $-3$  ; $-1 \frac{1}{3}$ 的相反数是 $1 \frac{1}{3} ;$
   $-5$ 的绝对值是 5.
   
   例 5 请你将下面的数在数轴上表示出来

$$
3. 5,-3.5,0,|-2|,-2,-1 \frac{3}{5},-\frac{1}{3}, 0.5
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122866924e7.png)

5.在数轴上，点A所表示的数为2，那么到点A的距离

等于3个单位长度的点所表示的数是?
答: -1 或 3

请你将下面的数用“＞”连接起来
   $3.5,-3.5,0,|-2|,-2,-1 \frac{3}{5},-\frac{1}{3}, 0.5$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228623b2e3.png)

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228e263179.png)

6.某日零点，北京、上海、宁夏的气温分别是﹣4℃、5℃、6℃、﹣8℃，当时这四个城市中，气温最低的是  （ D ）
A．北京    B．上海    C．重庆    D．宁夏

**考点七  科学记数法**
例7 将数$13 445000000000 \mathrm{~km}$ 用科学记数法 表示 $1.3445 \times 10^{16} \mathrm{~m}$.

7. 2016年末上海市常住人口总数为 $2419.7$ 万人, 用科学记数法表示为 $2.4197 \times 10^7$ 人.

例8  2016年我国全年出境旅游人数达1.22亿人次.这里的1.22亿精确到  (百万)     位.

8.由四舍五入法得到的近似数$2.349×10^5$精确到( 百) 位，如果精确到万位可写成    ($2.3 \times 10^5$)   .

**考点八 有理数运算**

$$
\begin{aligned}
&(1) 0.125+\left(+3 \frac{1}{4}\right)+\left(-3 \frac{1}{8}\right)-\left(-11 \frac{2}{3}\right)-0.25 \\
= & \frac{1}{8}+3 \frac{1}{4}-3 \frac{1}{8}+11 \frac{2}{3}-\frac{1}{4} \\
= & \left(\frac{1}{8}-3 \frac{1}{8}\right)+\left(3 \frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)+11 \frac{2}{3} \\
= & (-3)+3+11 \frac{2}{3} \\
= & 11 \frac{2}{3} .
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { (2) }\left(-\frac{7}{12}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}+\frac{5}{18}\right) \times(-36) \\
& =\left(-\frac{7}{12}\right) \times(-36)+\frac{3}{4} \times(-36)-\frac{5}{6} \times(-36)+\frac{5}{18} \times(-36) \\
& =21-27+30-10 \\
& =14 .
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { (3) }(-2) \div\left(-\frac{1}{12}\right) \div\left(-\frac{1}{12}\right) \\
& =-2 \div \frac{1}{12} \div \frac{1}{12} \\
& =-2 \times 12 \times 12 \\
& =-288 .
\end{aligned}
$$

$$
\text { (4) } \begin{aligned}
& \left(-2^4\right) \div\left(2 \frac{2}{3}\right)^2+5 \frac{1}{2} \times\left(-\frac{1}{6}\right)-(-0.5)^2 \\
= & -16 \div\left(\frac{8}{3}\right)^2+\frac{11}{2} \times\left(-\frac{1}{6}\right)-\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \\
= & -16 \div \frac{64}{9}-\frac{11}{12}-\frac{1}{4} \\
= & -\frac{41}{12} .
\end{aligned}
$$

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