整式乘法与因式分解

日期: 2022-12-29 09:53 查看: 175 次

**一、幂的乘法运算**
1.同底数幂的乘法: 底数不变 ,指数_相加.
$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$
2.幂的乘方: 底数 不变,指数 相乘
$\left(\boldsymbol{a}^m\right)^n=\boldsymbol{a}^{m n}$
3. 积的乘方: 积的每一个因式分别乘方, 再把所 得的幂相乘.
$(\boldsymbol{a b})^n=\boldsymbol{a}^n \boldsymbol{b}^n$

**二、整式的乘法**
1.单项式乘单项式:
(1) 将 单项式的系数相乘作为积的系数;
(2)相同字母的因式, 利用同底数幂 的乘法,
作为积的一个因式;
(3)单独出现的字母, 连同它的指数 , 作为积 的一个因式;
注: 单项式乘单项式, 积为 单项式.

**2.单项式乘多项式:**
(1)单项式分别 乘以 多项式的每一项;
(2)将所得的积 相加
注: 单项式乘多项式, 积为多项式, 项 数与原多项式的项数 相同.
3.多项式乘多项式:
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多 项式的每一项, 再把所得的积 相加

**三、整式的除法**
1.同底数幂的除法:
同底数幂相除，底数 不变 ,指数_相减.

$a^m \div a^n=a^{m-n}$

任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于

$a^0=a^m \div a^m=1$

2.单项式除以单项式:
单项式相除, 把 系数 、同底数的幂 分别相除 后, 作为商的因式; 对于只在被除式里含有的字 母, 则连它的 指数 一起作为商的一个因式.
3. 多项式除以单项式:
多项式除以单项式, 就是用多项式的 每一项除 以这个 单项式，再把所得的商 相加

**四、乘法公式**

1. 平方差公式
   两数和 与这两数 差 的积, 等于这两数的 平方和.
   $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^2-\boldsymbol{b}^2$
   2.完全平方公式
   两个数的和（或差）的平方, 等于它们的平方和, 加上（或减去）它们的 积_的 2 倍.
   $(a \pm b)^2=a^2 \pm 2 a b+b^2$

**五、因式分解**
1.因式分解的定定义
把一个多项式化为几个 整式 的 乘积的形式, 像 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解, 也叫做 把这个多项式分解因式.
2. 因式分解的方法
(1)提公因式法
(2)公式法
(1)平方差公式: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
(2)完全平方公式: $a^2 \pm 2 a b+b^2=(a \pm b)^2$

例1 下列计算正确的是( D )
A. $\left(a^2\right)^3=a^5$
B. $2 a-a=2$
C. $(2 a)^2=4 a$
D. $a \cdot a^3=a^4$
例2 计算: $(2 a)^3\left(b^3\right)^2 \div 4 a^3 b^4$.
解析: 幂的混合运算中, 先算乘方, 再算乘除.
解: 原式 $=8 a^3 b^6 \div 4 a^3 b^4=2 a^{3-3} b^{6-4}=2 b^2$.

1. 下列计算不正确的是 ( $\quad$ D $)$
   A. $2 a^3 \div a=2 a^2$
   B. $\left(-a^3\right)^2=a^6$
   C. $a^4 \cdot a^3=a^7$
   D. $a^2 \cdot a^4=a^8$
2. 计算: $0.25^{2015} \times(-4)^{2015-8100} \times 0^{205}{ }^{301}$.
   解: 原式 $=[0.25 \times(-4)]^{\left.2015-（ 2^3\right)}{ }^{100} \times 0.5^{300} \times 0.5$

$$
=-1-(2 \times 0.5){ }^{300} \times 0.5=-1-0.5=-1.5 \text {; }
$$

3. (1)已知 $3^m=6,9^n=2$, 求 $3^{m+2 n}, 3^{2 m-4 n}$ 的值.
   (2)比较大小: $4^{20}$ 与 $15^{10}$.
   解: (1) $\because 3^m=6,9^n=2$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore 3^{m+2 n}=3^m \cdot 3^{2 n}=3^m \cdot\left(3^2\right)^n=3^m \cdot 9^n=6 \times 2=12 . \\
& 3^{2 m-} \\
& \left.\left.(2)=3^{2 m} \cdot \div^{20} 3^{4 n}=\left(4^2\right)^m\right)^2 \dot{10}=3^{2 n} 6^2\right)^2=\left(3^m\right)^2 \div\left(9^n\right)^2=6^2 \div 2^2=9 . \\
& \quad \because 16^{10}>15^{10} \\
& \quad \therefore 4^{20}>15^{10}
\end{aligned}
$$

例3 计算: $\left[x\left(x^2 y^2-x y\right)-y\left(x^2-x^3 y\right)\right] \div 3 x^2 y$, 其中 $x=1, y=3$. 解析: 在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中, 一要注 意运算顺序; 二要熟练正确地运用运算法则.
解： 原式 $=\left(x^3 y^2-x^2 y-x^2 y+x^3 y^2\right) \div 3 x^2 y$

$$
\begin{aligned}
& =\left(2 x^3 y^2-2 x^2 y\right) \div 3 x^2 y \\
& =\frac{2}{3} x y-\frac{2}{3} . \\
& \text { 当 } x=1, y=3 \text { 时, }
\end{aligned}
$$

原式= $\frac{2}{3} \times 1 \times 3-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$.

4. 一个长方形的面积是 $a^2-2 a b+a$, 宽为 $a$, 则长方形的长 为 $a-2 b+1$;
5. 已知多项式 $2 x^{3-}-4 x^2-1$ 除以一个多项式 $A$, 得商为 $2 x$, 余 式为 $x-1$, 则这个多项式是 $x^2-2 x-\frac{1}{2}$.

6.计算:
(1) $\left(-2 x y^2\right)^2 \cdot 3 x^2 y \cdot\left(-x^3 y^4\right)$.
(2) $x\left(x^2+3\right)+x^2(x-3)-3 x\left(x^2-x-1\right)$
(3) $\left(-2 a^2\right) \cdot\left(3 a b^2-5 a b^3\right)+8 a^3 b^2$;
(4) $(2 x+5 y)(3 x-2 y)-2 x(x-3 y)$;
(5) $\left[x\left(x^2 y^2-x y\right)-y\left(x^2-x^3 y\right)\right] \div x^2 y$;
解:（1）原式 $=-12 x^7 y^9$
（2） 原式 $=-x^3+6 x$
(3) 原式 $=2 a^3 b^2+10 a^3 b^3$
（4） 原式 $=4 x^2+17 x y-10 y^2$
（5）原式 $=2 x y-2$

例4 先化简再求值: $\left[(x-y)^2+(x+y)(x-y)\right] \div 2 x$, 其中 $x=3, y=1.5$.
解: 原式 $=\left(x^2-2 x y+y^2+x^2-y^2\right) \div 2 x$

$$
\begin{aligned}
& =\left(2 x^2-2 x y\right) \div 2 x \\
& =x-y .
\end{aligned}
$$

当 $x=3, y=1.5$ 时,
原式 $=3-1.5=1.5$.

7. 下列计算中, 正确的是 ( C )
   A. $(a+b)^2=a^2-2 a b+b^2$
   B. $(a-b)^2=a^2-b^2$
   C. $(a+b)(-a+b)=b^2-a^2$
   D. $(a+b)(-a-b)=a^2-b^2$
8. 已知 $(x+m)^2=x^2+n x+36$, 则 $n$ 的值为 ( B )
   A. $\pm 6$
   B. $\pm 12$
   C. $\pm 18$
   D. $\pm 72$
9. 若 $a+b=5, a b=3$, 则 $2 a^2+2 b^2=38$

10. 计算:
    (1) $(x+2 y)\left(x^2-4 y^2\right)(x-2 y)$; (2) $(a+b-3)(a-b+3)$;
    (3) $(3 x-2 y)^2(3 x+2 y)^2$.
    解: (1) 原式 $=(x+2 y)(x-2 y)\left(x^2-4 y^2\right)$

$$
=\left(x^2-4 y^2\right)^2=x^4-8 x^2 y^2+16 y^4 ;
$$

(2)原式 $=[a+(b-3)][(a-(b-3)]$

$$
=a^2-(b-3)^2=a^2-b^2+6 b-9 \text {. }
$$

(3)原式 $=[(3 x-2 y)(3 x+2 y)]^2$

$$
=\left(9 x^2-4 y^2\right)^2=81 x^4-72 x^2 y^2+16 y^4
$$

11. 用简便方法计算
    (1) $200^2-400 \times 199+199^2$;
    (2) $999 \times 1001$.
    解: (1)原式 $=(200-199)^2=1$;

$$
\text { (2) } \begin{aligned}
\text { 原式 } & =(1000-1)(1000+1) \\
& =1000^2-1 \\
& =999999 .
\end{aligned}
$$

12把下列各式因式分解:
(1) $2 m(a-b)-3 n(b-a)$;
(2) $16 x^2-64$;
(3) $-4 a^2+24 a-36$.
解: (1) 原式 $=(a-b)(2 m+3 n)$.
(2) 原式 $=16(x+2)(x-2)$
(3) 原式 $=-4(a-3)^2$

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