反比例函数

日期: 2022-12-29 10:25 查看: 142 次

### 1. 反比例函数的概念

定义: 形如 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数, $k \neq 0)$ 的函数称为反 比例函数, 其中 $x$ 是自变量, $y$ 是 $x$ 的函数, $k$ 是比例 系数.
三种表达式方法: $y=\frac{k}{x}$ 或 $x y=k x$ 或 $y=k x^{-1}(k \neq 0)$.
防错提醒:
(1) $k \neq 0$;
(2) 自变量 $x \neq 0$;
(3) 函数 $y \neq 0$.

### 2. 反比例函数的图象和性质

(1) 反比例函数的图象: 反比例函数 $y=\frac{k}{x} \quad({k} \neq 0)$ 的图象是双曲线, 它既是轴对称图形又是中心对称图形.

反比例函数的两条对称轴为直线 $y=x$ 和 $y=-x$; 对称中心是原点.

(2) 反比例函数的性质

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229634696e.png)

(3) 反比例函数比例系数 $k$ 的几何意义
$k$ 的几何意义 : 反比例函数图象上的点 $(x, y)$ 具有两坐标之积 $(x y=k)$ 为常数这一特点,
即过双曲线上任意一点, 向两坐标轴作垂线, 两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 $|k|$.

规律: 过双曲线上任意一点, 向两坐标轴作垂线, 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 $\frac{|k|}{2}$.
![图片](/uploads/2023-02/image_20230205763776c.png)

例1. 已知点 $P(1,-3)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上, 则 $k$ 的值是
(B)
A. $3$
B. $-3$
C. $\dfrac{1}{3}$
D. $-\dfrac{1}{3}$

例2. 若 $y=(a+1) x^{a^2-2}$ 是反比例函数，则 $a$ 的值为 (A)
A. $1$
B. $-1$
C. $\pm 1$
D. 任意实数

例3 已知点 $\mathrm{A}\left(1, y_1\right), \mathrm{B}\left(2, y_2\right), \mathrm{C}\left(-3, y_3\right)$ 都在反比 例函数 $y=\frac{6}{x}$ 的图象上, 则 $y_1, y_2, y_3$ 的大小关系是
（D）
A. $y_3<y_1<y_2$
B. $y_1<y_2<y_3$
C. $y_2<y_1<y_3$
D. $y_3<y_2<y_1$

例4 如图, 两个反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 和 $y=\frac{2}{x}$ 在第一象 限内的图象分别是 $C_1$ 和 $C_2$, 设点 $P$ 在 $C_1$ 上, $P A \perp$ $x$ 轴于点 $A$, 交 $C_2$ 于点 $B$, 则 $\triangle P O B$ 的面积为 （1）

![图片](/uploads/2022-12/image_20221229a9f9ff8.png)

例5 如图, 已知点 $A, B$ 在双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 上, $A C \perp x$ 轴于 点 $C, B D \perp y$ 轴于点 $D, A C$ 与 $B D$ 交于点 $P, P$ 是 $A C$ 的中点, 若 $\triangle A B P$ 的面积为 6 , 则 $k=$
![图片](/uploads/2022-12/image_20221229a7a4c08.png)

解：
$$
\begin{aligned}
& S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2} S_{\text {四边形 } B F C P}, \\
& =\frac{1}{2}\left(S_{\text {四边形 } B D O F}-S_{\text {四边形 } O C P D}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(S_{\text {四边形 } B D O F}-\frac{1}{2} S_{\text {四边形 } A E O C}\right) \\
& =\frac{1}{2}\left(k-\frac{1}{2} k\right)=\frac{1}{4} k=6 . \\
& \therefore k=24 .
\end{aligned}

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