一元二次方程

日期: 2022-12-29 14:59 查看: 189 次

**1.定义:**
只含有一个末知数的整式方程, 并且都可以化为 $a x^2+b x+c=0(a, b, c$ 为常数, $a \neq 0)$ 的形式, 这样的 方程叫做一元二次方程.

**2.一般形式:**
$a x^2+b x+c=0(a, b, c$ 为常数， $a \neq 0)$
其中：
一次项：$ ax^2$        一次项系数：$a$
二次项： $bx$         二次项系数：$b$
常数项：c
注意：

(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．

**求根公式**

$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$

根据函数定义，取 $\Delta=b^2-4 a c$ ，可知
$\left\{\begin{array}{l}\Delta>0, \text { 方程有两个实根 } \\ \Delta=0, \text { 方程有一个实根 (两个相等的实根) } \\ \Delta<0, \text { 方程无实根 (有两个虚根) }\end{array}\right.$

**韦达定理**

由一元二次方程求根公式知: $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}$
则有:

$$
\begin{aligned}
& x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=-\frac{b}{a} \\
& x_1 \cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}=\frac{c}{a}
\end{aligned}
$$

例 1 若关于 $x$ 的方程 $(m-1) x^2+m x-1=0$ 是一元二次方程, 则 $m$ 的取值范围是（A ）
$\begin{array}{llll}\text { A. } m \neq 1 & \text { B. } m=1 & \text { C. } m \geq 1 & \text { D. } m \neq 0\end{array}$
解析 本题考查了一元二次方程的定义, 即方程中必须保证有二 次项 (二次项系数不为 0 ), 因此它的系数 $m-1 \neq 0$, 即 $m \neq 1$, 故选A.

例2 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1) x^2+x+m^2-1=0$ 有一 个根为 0 , 则 $m=-1$.
解析 根据一元二次方程根的定义可知将 $x=0$ 代入原方程一定 会使方程左右两边相等, 故只要把 $x=0$ 代入就可以得到以 $m$ 为 末知数的方程 $m^2-1=0$, 解得 $m=\pm 1$ 的值. 这里应填 $-1$. 这种题的 解题方法我们称之为 “有根必代” .

例3 已知一元二次方程 $x^2-4 x-3=0$ 的两根为 $m, n$, 则 $m^2-m n+n^2=\underline{25}$.
解析 根据根与系数的关系可知, $m+n=4, m n=-3 . m^2-m n+n^2$ $=m^2+n^2-m n=(m+n)^2-3 m n=4^2-3 \times(-3)=25$. 故填 25 .

例4 菜农小王种植的某种蔬菜, 计划以每千克5元的价格 对外批发销售. 由于部分菜农盲目扩大种植, 造成该种蔬 菜滞销. 小王为了加快销售, 减少损失, 对价格经过两次 下调后, 以每千克 $3.2$ 元的价格对外批发销售. 求平均每 次下调的百分率是多少?
解: 设平均每次下调的百分率是 $x$, 根据题意得 $5(1-x)^2=3.2$
解得 $x_1=1.8$ (舍去) , $x_2=0.2=20 \%$.
答: 平均每次下调的百分率是 $20 \%$.

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