二次函数

日期: 2022-12-29 15:20 查看: 130 次

**1.二次函数的概念**
一般地, 形如 $y=a x^2+b x+c \quad(a, b, c$ 是常 数, $a \neq 0$ 的函数, 叫做二次函数.
[注意] (1)等号右边必须是整式; (2)自变量的 最高次数是 2 ; (3) 当 $b=0, c=0$ 时, $y=a x^2$ 是特殊 的二次函数.

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**2.二次函数与一元二次方程的关系**
二次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象和 $x$ 轴交点有三种 情况: 有两个交点, 有两个重合的交点, 没有交点.当二 次函数 $y=a x^2+b x+c$ 的图象和 $x$ 轴有交点时, 交点的 横坐标就是当 $y=0$ 时自变量 $x$ 的值, 即一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$ 的根.

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例 1 抛物线 $y=x^2-2 x+3$ 的顶点坐标为 $(1,2)$
【解析】
方法一: 配方, 得 $y=x^2-2 x+3=(x-1)^2+2$, 则 顶点坐标为 $(1,2)$.
方法二代入公式 $x=\frac{b}{2 a}=\frac{-2}{2 \times 1}=1, y=\frac{4 a c-b^2}{4 a}=\frac{4 \times 1 \times 3-2^2}{4 \times 1}=2$, 则顶点坐标为 $(1,2)$.

例 2 二次函数 $y=-x^2+b x+c$ 的图像
如图所示, 若点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$
在此函数图像上, 且 $x_1<x_2<1$, 则 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小关系是( $\mathrm{B}$ )
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A. $y_1 \leq y_2$
B. $y_1<y_2$
C. $y_1 \geq y_2$
D. $y_1>y_2$
【解析】由图像看出, 抛物线开口向下, 对称轴是 $x$ $=1$, 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大.
$\because x_1<x_2<1, \therefore y_1<y_2$. 故选B.

例 3 将抛物线 $y=x^2-6 x+5$ 向上平移 2 个单位长 度, 再向右平移 1 个单位长度后, 得到的抛物线 解析式是(）
A. $y=(x-4)^2-6$
B. $y=(x-4)^2-2$
C. $y=(x-2)^2-2$
D. $y=(x-1)^2-3$
【解析】因为 $y=x^2-6 x+5=(x-3)^2-4$, 所以 向上平移 2 个单位长度, 再向右平移 1 个单位长 度后, 得到的解析式为 $y=(x-3-1)^2-4+2$, 即 $y=(x-4)^2-2$. 故选B.

例 4  已知关于 $x$ 的二次函数, 当 $x=-1$ 时, 函数值为 10 , 当 $x=1$ 时, 函数值为 4 , 当 $x=2$ 时, 函数值为 7 , 求这个二次函 数的解析式.
解: 设所求的二次函数为 $y=a x^2+b x+c$, 由题意得: $\left\{\begin{array}{l}a-b+c=10 \\ a+b+c=4 \\ 4 a+2 b+c=7\end{array}\right.$
解得, $a=2, b=-3, c=5$.
$\therefore$ 所求的二次函数为 $y=2 x^2-3 x+5$.

例5 某商场试销一种成本为每件60元的服装, 规定试 销期间销售单价不低于成本单价, 且获利不得高于 $45 \%$, 经试销发现, 销售量 $y$ (件)与销售单价 $x$ (元)符合一次函数 $y=k x+b$, 且 $x=65$ 时, $y=55 ; x=75$ 时, $y=45$.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若该商场获得利润为 $\mathrm{W}$ 元，试写出利润 $W$ 与销售单价 $x$ 之间的关系式; 销售单价定为多少元时, 商场可获得 最大利润, 最大利润是多少元?

解: (1) 根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}65 k+b=55 \\ 75 k+c=45\end{array}\right.$
解得 $k=-1, b=120$. 故所求一次函数的表达式为 $\mathrm{y}=-x+120$.
(2) $\mathrm{W}=(x-60) \cdot(-x+120)=-x^2+180 x-7200=-(x-90)^2+900$,
$\because$ 抛物线的开口向下, $\therefore$ 当 $x<90$ 时, $\mathrm{W}$ 随 $x$ 的增大而 增大,
而 $60 \leq x \leq 60 \times(1+45 \%)$ ，即 $60 \leq x \leq 87$ ，
$\therefore$ 当 $x=87$ 时, W有最大值, 此时 $\mathrm{W}=-(87-90)^2+900=891$.

例 6 如图, 梯形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB} / / \mathrm{DC}, \angle \mathrm{ABC}=$ $90^{\circ}, \angle \mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{AB}=30, \mathrm{BC}=x$, 其中 $15<x<30$. 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{E}$, 将 $\triangle \mathrm{ADE}$ 沿直线 $\mathrm{DE}$ 折叠, 点 $\mathrm{A}$ 落在 $F$ 处, $\mathrm{DF}$ 交 $\mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{G}$.
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(1) 用含有 $x$ 的代数式表示 $B F$ 的长;
(2)设四边形 $\mathrm{DEBG}$ 的面积为 $\mathrm{S}$ ，求 $\mathrm{S}$ 与 $x$ 的函数关系式;
(3)当 $x$ 为何值时, S有最大值? 并求出这个最大值.

解: (1) 由题意, 得 $\mathrm{EF}=\mathrm{AE}=\mathrm{DE}=\mathrm{BC}=x, \mathrm{AB}=30$. $\therefore \mathrm{BF}=2 x-30$.
(2) $\because \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{A}=45^{\circ}, \angle \mathrm{CBF}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{BGF}=\angle \mathrm{F}=45^{\circ}, \mathrm{BG}=\mathrm{BF}=2 x-30$.
所以 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{DEF}}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{GBF}}=\frac{1}{2} \mathrm{DE}^2-\frac{1}{2} \mathrm{BF}^2=\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{2}(2 x-30)^2=$ $-\frac{3}{2} x^2+60 x-450$.
(3) $\mathrm{S}=-\frac{3}{2} x^2+60 \mathrm{x}-450=-\frac{3}{2}(x-20)^2+150$.
$\because a=-\frac{3}{2}<0,15<20<30$,
$\therefore$ 当 $x=20$ 时, $\mathrm{S}$ 有最大值,
最大值为 150 .

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