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第一次数学危机
日期:
2023-08-31 13:39
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**引言** 第一次数学危机，是数学史上的一次事件，发生在公元前5世纪。它涉及到无理数、毕达哥拉斯悖论和整数定义等问题。 这次危机源于古希腊数学家希帕索斯发现了一个重要的无理数，即$\sqrt{2}$。这个发现挑战了毕达哥拉斯学派所认为的“万物皆为数”的理念，引发了数学界的一场大争论。 **背景** 古希腊的毕达哥拉斯学派信奉“数即万物”，并认为宇宙间各种不同的关系都可以用整数或整数之比来表达。 来听听下面这段描述： 在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的左端点和右端点分别表示0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点，并且这样能把直线上所有的点用完。 {width=500px} **希帕索斯与无理数** 但是一个名叫希帕索斯的青年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。他发现边长为1的正方形的对角线根据勾股定理可以计算出其长度为$\sqrt{2}$, 而这个长度不能用整数或分数来表达。 特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，而且这种点有无数个。 于是他们就必须发明新的数来对应这样的点。最开始，大家都觉得全世界的所有数都可以写成两个整数的比。 但是有些数无法写成两个整数的比值。那么人们就想着，我们区分一下两种数吧。第一种数可以写成两个整数的比，看起来很合理，就叫有理数吧。这种没法写成两个整数比的数，虽然确实存在，但是看起来很不合理，我们就管它们叫无理数吧。 因此，数学上先是把可以表为整数之比的数定义为有理数，然后又发现并非所有数都可以这样地表为整数之比，就把他称呼为无理数。 因此，问「无理数为什么不能写作两个整数之比」就跟问「负数为什么小于零」一样毫无意义。 **结果** 这次数学危机让后人意识到，产生了无理数，并推动了几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。 从这次数学危机开始，几何学开始在希腊数学中占有了特殊地位，古希腊的几何学进展也借此得以大大推进。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立了几何学体系。
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2023-08-31 13:39
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