角度和弧度

日期: 2022-10-13 07:35 查看: 244 次

角度
度是平面角的单位，符号为°，英文为\( degree \) 。一周角分为360等份，每份定义为1度（1°）。之所以采用360°这数值，是因为它容易被整除。360除了1和自己，还有21个真因子\( (2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、 \) \( 18、20、24、30、36、45、60、72、90、120、180 ) \) ，所以很多特殊的角的角度都是整数。
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弧度
在科学计算中经常使用弧度作为平面角的单位，弧度记做 \( rad \) 。把长度等于半径长的所对的圆心角叫做1弧度。
根据弧度定义可以得到圆一周的弧度为:
&nbsp;\( \dfrac{圆周长}{半径}= \dfrac{2\pi r}{r} =2\pi \) 
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角度和弧度换算
根据角度和弧度的定义，很容易得出角度和弧度的换算关系。因为圆的一周是\( 360 \degree \) ，而采用弧度是 \( 2\pi \) &nbsp;弧度，所以有
\( 360 \degree = 2 \pi rad \) 即&nbsp;
\( 1 \degree = \dfrac{\pi}{180} rad \approx 0.01745 rad \) 
反过来，
\( 1 rad= (\dfrac{180}{\pi}) \degree \approx 57.30 \degree \) 
一般的，我们只要记住： \( 180 \degree = \pi 弧度 \) 就可以了，使用时，进行转换。
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角度的正负
我们定义角度沿着逆时针方向旋转为正，沿着逆时针方向旋转为负。如果逆时针旋转\( \theta \) 大小会有一条终边，那么通过旋转得到的角的大小就是 \( \theta \) ；如果顺时针旋转 \( \theta \) 大小，那么这个角就是\( - \theta \) &nbsp;。
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三角函数的扩展
初中三角函数是在一个直角三角形中定义的，有一个直角三角形 \( ABC \) &nbsp;
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正弦、余弦、正切、余切的定义如下：
\( \sin A=\frac{B C}{A B} \quad \cos A=\frac{A C}{A B} \quad \) 
\( \tan A=\frac{B C}{A C} \quad \tan A=\frac{\sin A}{\cos A} \) 
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在引入弧度制后，可以采用类似的定义方法：如下图，不妨设终边最后落在了第一象限上，如下图所示。
<img src="../uploads/2022-10/47e673.jpg" width="200px">
然后过点\( A \) \( \) 作\( x \) 轴的垂线，垂足为\( B \) ，那么我们就有了一个直角三角形 \( A O B \) ，于是我们就可以在 这个基础上定义三角函数了。
\( \sin A=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \cos A=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \quad \tan A=\frac{y}{x} \) 
类似的，无论终边落在那个象限上我们都可以利用在终边上取一点，做垂线来定义三角函数。并且，在终边上任意取一点，最后得到三角函数值是一样的。因为 \( \triangle A O B \sim \triangle C O D \) , 所以对应 边长成比例。
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但是这样子计算三角函数值也太复杂了，在终边上任取一点坐标，要算到原点的距离还需要求比值。所以为了简化我们的计算，引入了单位圆，让\( OA \) 的长度等于\( 1 \) 。
我们可以过终边与单位圆的交点作垂线，求对应的三角函数值。因为圆周上的点到圆心的距离为 1，于是 \( \sqrt{x^2+y^2}=1 \) ，因此我们可以发现交点的坐标\( x \) 和 \( y \) 的值就对应了 \( cos \theta \) 和 \( \sin \theta \) 。
注意：单位圆的距离始终是正数1，所以，正弦、余弦的正负就有坐标值的正负决定。
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无论 \( \theta \) 是多少， \( \sin \theta \) 与 \( \cos \theta \) 我们只需要去找终边与单位圆的交点坐标 \( x,y \) 就可以了。
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下图列出了三角函数的值在各个象限内的符号，
\( \sin \) 函数在&nbsp;第一第二象限为正，第三第四象限为负。
\( \cos \) 函数在 第一第四象限为正，第二第三象限为负。
\( \tan \) 函数在 第一第三象限为正，第二第四象限为负。
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典型例题
若\( \sin \theta \cos \theta &gt;0 \) ,则 \( \theta \) 在（）
A.第一、第二象限
B.第一、第三象限
C.第一、第四象限
D.第二、第四象限
解析：因为 \( \sin \theta \cos \theta &gt;0 \) ，所以 \( \sin \theta \cos \theta \) 同号，当\( \sin \theta &gt;0 \) 时,\( \cos \theta &gt;0 \) ,此时\( \theta \) 在第一象限。
当 \( \sin \theta &lt;0 \) 时，\( \cos \theta &lt;0 \) , 此时 \( \theta \) 在第三象限，所以选择 B
\( \) 
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