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线性空间的定义

定义1
设 $V$ 是一个非空集合， $\mathbf{R}$ 为实数域. 对于任意两个元素 $\alpha, \beta \in V$ ，在 $V$ 中总有唯一确定 的一个元素 $\gamma$ 与之对应，称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和，记作 $\gamma=\alpha+\beta$. 对于 $\mathbf{R}$ 中任一数 $\lambda$ 与 $V$ 中任 一元素 $\alpha$ ，在 $V$ 中总有唯一确定的一个元素 $\delta$ 与之对应， 称为 $\lambda$ 与 $\alpha$ 的数量乘积，记作 $\delta=\lambda \alpha$. 如果这两种运算满足以下八条运算规律 (设 $\alpha, \beta, \gamma \in V ; \lambda, \mu \in \mathbf{R}$ ):

(i) 加法交换律: $\quad \alpha+\beta=\beta+\alpha$;
(ii) 加法结合律: $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$;
(iii) 在 $V$ 中存在零元素 0 ；对于任何 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，都有是 $\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\boldsymbol{\alpha}$ ，
(iv) 负元素: 对于任何 $\alpha \in V$ ，都有是 $\alpha$ 的负元素 $\beta \in V$ ，使 $\alpha+\beta=\mathbf{0}$;
(v) $1 \alpha=\alpha$,
(vi) $\lambda(\mu \alpha)=(\lambda \mu) \alpha$;
(vii) $(\lambda+\mu) \alpha=\lambda \alpha+\mu \alpha$;
(viii) $\lambda(\alpha+\beta)=\lambda \alpha+\lambda \beta$
那么， $V$ 就称为实数域 $\mathbf{R}$ 上的线性空间.
线性空间有时也被称为向量空间， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向 量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算.

例1
次数不超过 $n$ 的多项式的全体，记作 $P[x]_{n^{\prime}}$ 即

$$
P[x]_n=\left\{p(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \square\right\},
$$

对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间.
这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 故只要验证 $P[x]_n$ 对运算封闭.

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例2 设集合

$$
C[a, b]=\{f(x) \mid f(x) \text { 为 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\}
$$

是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间.
这是因为: 通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的
运算性质可知， $C[a, b]$ 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭.

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![图片](/uploads/2023-01/image_202301029a4e402.png)

例4
$n$ 次多项式的全体

$$
Q[x]_n=\left\{p=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0 \mid a_n, \cdots, a_1, a_0 \in \mathbf{R} \text {, 且 } a_n \neq 0\right\},
$$

对于通常的多项式加法和乘数运算不构成线性空间. 这是因为
$0 p=0 x^n+\cdots+0 x+0 \notin Q[x]_n$, 即 $Q[x]_n$ 对运算不封闭.

例 5
$n$ 个有序实数组成的数组的全体

$$
S^n=\left\{\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_1, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}} \mid x_1, x_1, \cdots, x_n \in \mathbf{R}\right\}
$$

对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法

$$
\lambda \circ\left(x_1, \cdots, x_n\right)^T=(0, \cdots, 0)^T \text { 不构成线性空间. }
$$

可以验证 $S^n$ 对运算封闭，但是 $1 \circ x=0$ ，不满足第五条运算规律，即所定义的运算 不是线性运算，所以不是线性空间.

例6

正实数的全体，记作 $\mathbf{R}^{+}$，在其中定义加法及乘数运算为

$$
a \oplus b=a b\left(a, b \in \mathbf{R}^{+}\right), \lambda \circ a=a^\lambda\left(\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}\right),
$$

验证对上述加法与乘数运算构成线性空间.

证明：
首先验证对定义的加法和数乘运算封闭.
对加法封闭: 对任意的 $a, b \in \mathbf{R}^{+}$，有 $a \oplus b=a b \in \mathbf{R}^{+}$;
对数乘封闭: 对任意的 $\lambda \in \mathbf{R}, a \in \mathbf{R}^{+}$，有 $\lambda \circ a=a^\lambda \in \mathbf{R}^{+}$.

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## 第4章 向量组及向量空间的几何意义

我们知道, 实数可看做一维向量 (正负是实数的方向), 复数可看做二维向量, 那么可能还有 “三维数” “四维数” , 乃至 “ $n$ 维数” 。不过当年哈密尔顿失望地发现, 要形成有加减乘除四则运算的数系, 只能是四元数, 而且不得不放弃乘法的交换律。最后发现的八元数,连结合律也维持不了。除此之外, 其他维数的向量根本无法定义四则运算, 更谈不上构成数系。德国数学家格拉斯曼 1844 年引入了 $n$ 维向量的概念。令人深思的是, $n$ 维向量既然不能成为有四则运算的数系, 那么它的结构是什么呢? 这是19世纪抽象代数思想的发展的自然思考。研究表明, $n$ 维向量全体, 可以定义加法和减法, 此外还有单个的 “数” 可以和向量相乘。这就是向量空间 (线性空间) 的来源。此外, 两个向量可以有 “内积” 和 “外积” , 但是它们都没有逆运算,即没有除法。这是一个不同于 “数系” 的峷新的数学结构。果然, 在向量空间的舞台上, 产生了具有深远影响的数学成就。

多个向量组成向量组, 向量组关键的概念有线性相关性、秩等。有了向量组, 就会产生向量空间的概念, 因为一个有限元素的向量组会张成一个无限元素的向量空间。

在向量组张成的向量空间里, 基、维数、坐标等概念完整地勾画出了一个线性空间的全貌。如果再加上线性映射、线性变换和基变换等概念, 那么向量空间就是向量活动的一个社会了。

线性变换与向量空间是相辅相成、互相依存的。向量空间是线性变换的载体, 没有向量空间, 线性变换无用武之地, 没有归属感; 反之, 向量空间没有线性变换作用其上, 向量空间就是死的, 空洞无物。这个关系有点像运动与物质空间关系的味道。如果大家建立了一个空间的概念, 作为运动概念的线性映射和线性变换就有了家园。
本章主要是从几何图形上弄清向量空间里的这些概念, 让抽象的概念回归形象的几何解释。

线性空间里需要建立坐标系才能数量化, 坐标系就是基, 基就是由几个骨干向量构成的一个有序向量组。因此, 要讨论向量空间, 先讨论向量组是正点。
(注意, 本章循着向量传统的写法, 用黑体拉丁文 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 来表示, 这与本书其他章节向量黑体小字母 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 的写法没有任何区别, 只是传统或方便的选择。)
4.1 向量组的几何意义
向量组是对有限个向量集合的研究。对向量组的性质了解清楚后, 就会对矩阵和线性方程组的性质认识更加深入。因为矩阵实际上也是一个有序向量组。线性方程组实际上就是向量组的线性表示。因此, 在开展矩阵及方程组的研究之前, 有必要先研究清楚向量组的问题。
向量组里的向量们有哪些特性呢? 有什么共性? 有没有不变量?
有, 这个不变的特性就是一个叫 “秩” 的东东。市面我们来慢慢探究之。

## 4. 1.1 向量线性表示/组合的几何意义

线性表示/组合的定义

先看图 4-1 中平面向量集合, 这个集合有七个二维向量, 用坐标表示出来就是 $\alpha_1=(2,1), \quad \alpha_2=(3,3), \quad \alpha_3=(1,2), \quad \alpha_4=(-1,1), \quad \alpha_5=(-2,2), \quad \alpha_6=(-3,-1), \quad \alpha_7=(2,-2)$仔细观察后发现:
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向量 $\boldsymbol{\alpha}_2$ 可以由两个向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_3$ 相加得到, 即 $\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$;
向量 $\alpha_4$ 可以由 $\alpha_5$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 得到, 也可以由 $\alpha_7$ 乘以 $-\frac{1}{2}$ 得到, 即 $\alpha_4=\frac{1}{2} \alpha_5$ 或 $\alpha_4=-\frac{1}{2} \alpha_7$;向量 $\alpha_6$ 可以由 $\alpha_2$ 的数乘和 $\alpha_7$ 的数乘之和得到, 即 $\alpha_6=-\frac{2}{3} \alpha_2-\frac{1}{2} \alpha_7$; .......
上面的例子是说, 一个向量可以由另外一个或几个向量 (向量组) 用数乘之和的形式表示出来, 一般表达式就是 $\boldsymbol{\beta}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s$, 其中 $x_1, x_2, \cdots, x_s$ 是常数。这里称之为向量 $\boldsymbol{\beta}$ 可以由向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right\}$ 线性表示。或者讲, 向量 $\boldsymbol{\beta}$ 是向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 的线性组合。

我们研究一下线性表示的表达式 $\boldsymbol{\beta}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s$, 明显地: 向量 $\boldsymbol{\alpha}_1$ 数乘 $x_1$, 向量 $\boldsymbol{\alpha}_2$数乘 $x_2, \cdots$, 然后把数乘后的向量相加起来就得到了一个新的向量 $\boldsymbol{\beta}$ 。反过来讲, 一个向量 $\boldsymbol{\beta}$被分解为几个向量的倍数。所以我们得到一个结论:
线性组合或表示式的代数意义是向量数乘和加法的综合。
在第 2 章的向量介绍中, 我们知道, 数乘的几何解释就是在原向量的直线上向量长度的伸长或缩短; 两向量相加的几何解释就是依照平行四边形法则对向量进行合并。因此向量的线性组合的几何意义就是对向量组内的向量长度进行缩放后依照平行四边形法则进行合并相加, 如图 4-2 中的 $\alpha_1$ 和 $\alpha_3$ 合并成 $\boldsymbol{\alpha}_2$; 线性表示的几何意义就是可以把一个向量依照平行四边形法则分解 (或投影) 为向量组上的和, 如图 4-2 中的 $\alpha_6$ 分解为 $\alpha_2$ 与 $\alpha_7$ 上的分量。
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2. 向量被向量组所线性表示的几何意义

在图 4-2 中, 我们已经知道: $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可以被向量组 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_5\right\}$ 线性表示, 也可以被 $\left\{\boldsymbol{\alpha}_7\right\}$ 线性表示; $\boldsymbol{\alpha}_2$可以被向量组 $\left\{\alpha_1, \alpha_3\right\}$ 线性表示, $\alpha_6$ 可以被向量组 $\left\{\alpha_2, \alpha_7\right\}$ 线性表示。
下面我们只研究 $\alpha_4$ 的线性表示方法。
$\alpha_4$ 可以由多种向量组线性表示, 只要这个向量组所确定的直线、平面或空间包含 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 。
比如 $\alpha_4$ 可以被 $\left\{\alpha_5\right\},\left\{\alpha_5, \alpha_7\right\}$ 等向量组线性表示。因为 $\left\{\alpha_5\right\}$ 所能扩张的是一根直线（如

图 4-3 所示的虚直线), 这根直线包含了 $\alpha_4$ 。同理, $\left\{\alpha_5, \alpha_7\right\}$ 扩张的是同一根直线。
![图片](/uploads/2024-01/image_20240112361fa7e.png)
再比如 $\alpha_4$ 可以被向量组 $\left\{\alpha_3, \alpha_6\right\}$ 线性表示, 同时也可以被向量组 $\left\{\alpha_2, \alpha_6\right\},\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_6\right\}$ 等线性表示。因为, 在图 4-3 的平面上, 任何两个不在一条直线上的向量都可以扩张成这个坐标平面, $\alpha_4$ 当然包含在这个平面上, 因此被这个不同方向的向量所组成的向量组线性表示。

换句话说, $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可以被线性表示是因为 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 可以分解到这两个不在一条直线上 (或不同方向)的向量上。这个结论容易验证, 因为我们容易把被分解向量作为平行四边形对角线, 把另两个向量 (或其延长线) 作为邻边而构造出一个平行四边形。
我们把上述的平面二维向量扩充为空间三维向量 (见图 4-4) 来继续讨论。
![图片](/uploads/2024-01/image_20240112c19c5aa.png)
图 4-4 中 $\boldsymbol{\alpha}_1 \sim \boldsymbol{\alpha}_7$ 仍在同一平面, 新增加的向量 $\boldsymbol{\alpha}_8$ 与它们不在同一平面。
我们说, $\alpha_4$ 不能被 $\left\{\alpha_6, \alpha_8\right\}$ 线性表示, 因为 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 不在 $\boldsymbol{\alpha}_6$ 与 $\boldsymbol{\alpha}_8$ 所构成的平面上。但可以说 $\boldsymbol{\alpha}_4$能被 $\left\{\alpha_1, \alpha_6, \alpha_8\right\}$ 线性表示, 因为 $\left\{\alpha_1, \alpha_6, \alpha_8\right\}$ 所张成的三维空间包含了 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 。

其实我们如果引入了极大无关组（见 4.1.4 节) 的概念, 则可以说得更简单而清晰: 向量可以被向量组线性表示的原因是，这个向量处于以向量组的极大无关组为基的线性子空间里面。向量在向量组的子空间里面就可以被表示, 不在里面就不能表示一一就这么简单!

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