第三次数学危机

日期: 2023-08-18 08:43 查看: 35 次

数学界发生过三次数学危机，第一次数学危机和第二次数学危机，其中第一次数学危机是由无理数引发的实数危机；第二次数学危机，则是一场由无穷小量引发的，关于微积分的存在基础是否坚实的危机。

**引子**
关于第三次数学危机，要从数学家罗素的一个悖论开始讲起。悖论不是谬论，悖论是怎么说都对，但却不是错的。罗素提出的这个悖论就很有趣，叫做理发师悖论：

有一个小镇，镇上有一个理发师。有一天，他贴了一张牌子到理发店门口，上面写着：本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！理解起来很简单，就是如果你给自己刮胡子，那理发师就不给你刮胡子，如果你不给自己刮胡子，那理发师就给你刮胡子。
这时候有趣的问题就出现了：这个理发师应不应该给自己刮胡子呢？

①如果他给自己刮胡子，那他就是一个给自己刮胡子的人，那他就不应该给自己刮胡子。

②如果他不给自己刮胡子，那他就是一个不给自己刮胡子的人，那他就应该给自己刮胡子。

这个悖论看上去绕，但是逻辑并不复杂。那罗素作为一个厉害的数学家，为啥要给自己提这么奇怪的一个问题？不知道大家是否还记得康托尔这个人，第二次数学危机被平息，这位数学家就有很大的功劳。罗素提出这个悖论就是为了诘难这位德国数学家康托尔。

康托尔提出了一个很著名的“集合论”。集合这个概念大家不陌生，高中一年级数学就教这个，集合也被认为是现代数学的基础。集合论研究到深处，是非常复杂的，因此被人们称为“人类纯智力活动的最高成就”。

1900年国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。这一发现使数学家们为之陶醉。

**瑕疵**
集合论确实很牛，但是康托尔在提出不久后，自己就发现了一个“瑕疵”。但是为名所累，他自己就没说这个瑕疵，好像以为他自己不说别人就不会发现。可惜才过了3年，也就是1903年的时候，罗素很快就发现了这个瑕疵，就跑过去问康托尔。

为了理解这个瑕疵，我们需要先复习一下集合的相关知识。集合有三个特点：

确定性：对一个集合而言，里面每一个元素都必须是确定的。

互异性：对一个集合而言，里面任意两个元素都不能相同。

无序性：对一个集合而言，里面的元素没有排列顺序。

比如对集合A而言，它有三个元素，分别是1、2、3。对集合B而言，所有的偶数就是这个集合的元素。当然，有些概念不能组成集合，比如所有的帅哥就不能构成集合，因为帅是主观的，有人觉得帅，有人可能觉得他丑，不具有确定性。但是所有的男人能组成集合，因为男人这个概念是确定的。

集合里有几种关系，其中一种叫“属于”或“不属于”。比如对集合A和B来说：

元素1属于A，不属于B，记作1∈A，1∉B。

元素2属于A和B，记作2∈A，2∈B。

了解了这些基本知识，我们再回到罗素提出的瑕疵上。罗素的理发师悖论就是想告诉康托尔，集合论面临着一个严重的自相矛盾的问题：

比如我可以定义一个集合C，这个集合的意思是——所有的集合组成的集合C，集合x不属于集合C，通俗的来说就是“所有不属于自身的集合的集合”。这时候问题就出现了，集合C数不属于自身呢？

如果集合C∈C，那么集合C就不满足定义，那么集合C∉C。

如果集合C∉C，那么集合C就满足定义，那么集合C∈C。

这就出现了矛盾，正也不是，反也不是，看着觉得绕口的朋友可以慢慢体会。

这个矛盾就是集合论的“瑕疵”，这个瑕疵到目前为止，虽然有了一些“缓兵之计”，但是到现在，依旧没有一个完美的解决方案，因此被称为第三次数学危机。

罗素大神提出了这个悖论，但是他自己解决不了；康托尔作为集合论的提出者，也解决不了这个问题，因此一次次被罗素诘难，十分悲催。到最后，康托尔竟然直接把自己逼疯了，最后死在了哈勒大学的精神病医院里。

如果说前两次数学危机只是影响了数学大厦的建设，那么第三次数学危机则影响了数学大厦的地基。整个数学界，逻辑学界和哲学界都感到了问题的严重性。当然，凡事有弊必有利。

第三次数学危机的爆发，对数学的发展起到了巨大的作用。它不但促进了数学基础理论的研究，还推动了数理逻辑的发展，更重要的是：促进了哥德尔不完全性定理的诞生。

**不完全性定理**
第一定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
关于本定理的详细介绍，可以参考其他资料的介绍。

**机器人学三定律**
《我，机器人》是一部美国科幻片，电影里，在设计机器人时，机器人必须遵守三大定律，这三大法则之间的互相约束，为后世的创作有一定的指导意义。

LawⅠ:A ROBOT MAY NOT INJURE A HUMAN BEING OR, THROUGH INACTION, ALLOW A HUMAN BEING TO COME TO HARM.
第一定律：机器人不得伤害人类个体，或者目睹人类个体将遭受危险而袖手不管

LawⅡ:A ROBOT MUST OBEY ORDERS GIVEN IT BY HUMAN BEINGS EXCEPT WHERE SUCH ORDERS WOULD CONFLICT WITH THE FIRST LAW.
第二定律：机器人必须服从人给予它的命令，当该命令与第一定律冲突时例外

LawⅢ:A ROBOT MUST PROTECT ITS OWN EXISTENCE AS LONG AS SUCH PROTECTION DOES NOT CONFLICT WITH THE FIRST OR SECOND LAW.
第三定律：机器人在不违反第一、第二定律的情况下要尽可能保护自己的生存

那么问题来了，机器人在知道自己被人类杀死的情况下，机器人可以反抗杀死人类吗？

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