数列极限的概念

日期: 2022-12-27 12:43 查看: 144 次

**数列定义**
数列 $\left\{x_n\right\}: x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$ 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中 $x_1$ 称为数列的首项， $x_n$ 称为数列的第 $n$ 项，或称为数列的一般项 (通项).
等差数列 $\left\{x_n\right\}$ : 公差 $d=x_n-x_{n-1} \in R$ ，通项公式为 $x_n=x_1+(n-1) d$ ，前 $n$ 项 求和公式为 $S_n=\frac{n\left(x_1+x_n\right)}{2}$.
等比数列 $\left\{x_n\right\}$ : 公比 $q=\frac{x_n}{x_{n-1}}$ ， 通项公式为 $x_n=x_1 \cdot q^{n-1}$ ，前 $n$ 项求和公式 为 $S_n=\frac{x_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

**数列极限的引入**
一尺之棰，日取其半，万世不竭. ——庄子 · 天篇
一尺长的木棍， 每天截掉一半， 每天截取的长度按照天数可排成一个数列:

$$
\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \ldots, \frac{1}{2^n}, \ldots \text {, }
$$

数列的通项为 $\frac{1}{2^n}$ ，当 $n$ 无限增大(记作 $n \rightarrow \infty$, 读作 $n$ 趋于无穷大)时， $\frac{1}{2^n}$ 无限接 近一个确定的数 0 . 在数学上称这个确定的数 0 是数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 当 $n \rightarrow \infty$ 时的极限.

解决实际问题时， 经常用到极限方法. 极限方法作为高等数学中的一种基本方法， 很有必要做进一步详细的讨论. 先看下面的 4 个数列.
(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots, \frac{1}{n}, \ldots$;
(2) $1,3,3^2, \ldots, 3^{n-1}, \ldots$;
(3) $1,-1,1, \ldots,(-1)^{n-1}, \ldots$;
(4) $2, \frac{1}{2}, \frac{4}{3}, \ldots, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n}, \ldots$;
它们的一般项依次为

$$
\frac{1}{n}, 3^{n-1},(-1)^{n-1}, \frac{n+(-1)^{n-1}}{n} \text {. }
$$

在几何上，数列  $x_n$     可看作数轴上的一个动点， 如图1-35所示 ，

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271246.png)

它依次取数轴上的点 $x_1 ， x_2, x_3, \ldots, x_n \ldots$
按函数的定义， 数列 $\left\{x_n\right\}$ 可看作自变量为正整数 $n$ 的函数， 即 $x_n=f(n)$ ， 它的定义域是全体正整数，当自变量 $n$ 依次取 $1,2,3, \cdots$ 时，对应的函数值就排列 成数列 $\left\{x_n\right\}$.

现在我们所关心的问题是:
（1 ) 给定一个数列后，该数列的变化趋势如何? 随着 $n$ 的无限增大， $x_n$ 能否无限 接近某个常数?
(2) 如果能无限接近某个确定的数，则该常数是多少?

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