数列极限的定义

日期: 2022-12-27 12:47 查看: 138 次

**定义**
设 $\left\{x_n\right\}$ 为一数列，如果存在一个常数 $a \in R ，$ 对于任意给定的正数 $\varepsilon ，$ 总存在一 个正整数 $N$ ，使得对于 $n>N$ 时的一切 $n$ ， 不等式 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 均成立，则称常数 $a$ 是数列 $x_n$ 的极限，或者称数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ， 记作

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a \text { ，或 } x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty) \text {. }
$$

如果这样的常数 $a$ 不存在，就称数列没有极限，或称数列发散.

我们用 “ $\forall$ " 表示 “任意的"， 用 “ $\exists$ " 表示 “存在"， 就可以用更简洁 的语言来描述数列的极限.
如果 $\forall \varepsilon>0 ， \exists N \in Z^{+}$，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$.
注 (1) 定义中， $\varepsilon$ 刻画了 $x_n$ 和 $a$ 的接近程度， $\varepsilon$ 的 “任意” 性极其重要. 只有这样， $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 才能体现 $x_n$ 和 $a$ 的 “无限接近" ；
(2) 正整数 $N$ 与任意给定的正数 $\varepsilon$ 有关. 对于给定的 $\varepsilon ，$ 相应的 $N$ 不是唯 的， 即只要其存在， 并没有要求其达到最小；
(3) 由定义也可看出， $\left\{x_n\right\}$ 的极限是否存在仅与它的发展趋势有关. 只要从 某项 $N$ 开始， $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 即可，与前有限项的变化无关.

下面给出 “数列 $\left\{x_n\right\}$ 的极限为 $a$ " 的几何解释.
若在数轴上标出 $x_1, x_2 ， \ldots ， x_{n^{\prime}} \ldots$ 及 $a$ ，
再作 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ (见图1-36)，

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271248.png)

就会发现，当 $n>N$ 时，点 $\left\{x_n\right\}$ 均落在 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 内，至多有有限个 $(N$ 个落在 $(a-\varepsilon, a+\varepsilon)$ 外.
必须指出， 数列的定义可用于验证 $a$  是数列 $x_n$   的极限， 但却无法用于求极限。

例 1 已知 $x_n=\frac{1}{n}$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$.
证明 $\forall \varepsilon>0 ，$ 要使

$$
\left|x_n-0\right|=\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\varepsilon
$$

即 $n>\frac{1}{\varepsilon}$ ，取 $N=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1$ ，则当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-0\right|<\varepsilon$ ，故数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 的极限为 0 ， 即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0
$$

例2 已知 $x_n=\frac{1}{2^n}$ 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$.
证明 $\forall \varepsilon>0$, (不妨设 $\varepsilon<1$ 想想为什么可以这样假设. ) 要使

$$
\left|x_n-0\right|=\left|\frac{1}{2^n}-0\right|=\frac{1}{2^n}<\varepsilon
$$

即 $2^n>\frac{1}{\varepsilon}$ ，等式两端同时取对数， $n \ln 2>\ln \frac{1}{\varepsilon^{\prime}}$ 从而 $n>\frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln 2^{\prime}}$, 取 $N=\left[\frac{\ln \frac{1}{\varepsilon}}{\ln 2}\right]+1$ ，则当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-0\right|<\varepsilon$ ，故数列 $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ 的极限为 0 ，即

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^n}=0
$$

由例2的证明可以发现：对于任意的 $0<|q|<1$ ，都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0$. 请感兴趣的读者自行 证明.

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