无穷小的比较

日期: 2022-12-27 14:42 查看: 87 次

一般情况下，两个无穷小的商的极限由于不遵循极限的运算法则，且不能 立刻判断其极限是否存在， 因此， 这类极限通常称为 $n-00$ 型末定式极限. 末 定式极限各不相同，反映了作为分子、分母的两个无穷小趋于零的 “快慢” 程 度不同. 当 $x \rightarrow 0$ 时， $x^2$ 趋于零的速度比 $x$ "快" ， $x$ 趋于零的速度比 $x^2$ "慢" ，而 $\sin x$ 与 $x$ 趋于零的速度 “差不多" .

如果用精确的数学语言来描述这 “快” 与 “慢” 的程度，则有 定义 3 设 $\alpha 、 \beta$ 为自变量的同一变化过程中的无穷小，且 $\alpha \neq 0$. 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=0$ ，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta=o(\alpha)$ ； 若 $\lim \frac{\alpha}{\alpha}=\infty ，$ 则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小； 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha}=C \neq 0$ ， 则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的同阶无穷小； 特别当 $C=1$ 时，则称 $\beta$ 和 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \square \beta$; 若 $\lim \frac{\beta}{\alpha^k}=C \neq 0(k>0)$ ，则称 $\beta$ 是 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小.

由此定义可以得到一些常见的无穷小比较的例子.
例如，由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{3 x}=0$ 知，当 $x \rightarrow 0$ 时， $x^2$ 是比 $3 x$ 高阶的无穷小，记作 $x^2=o(3 x)(x \rightarrow 0)$ ； 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ 知，当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小，记作 $\sin x \square x(x \rightarrow 0)$ ； 由 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2$ 知，当 $x \rightarrow 1$ 时， $x^2-1$ 是 $x-1$ 的同阶无穷小；
由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ 知，当 $x \rightarrow 0$ 时， $1-\cos x$ 是关于 $x$ 的二阶无穷小，也称 $1-\cos x$ 和 $x^2$ 是同阶无穷小.

例5 证明: 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sqrt{x+1}-1 \square \frac{1}{2} x$.

$$
\text { 证明 } \begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\frac{1}{2} x} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2[(1+x)-1]}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{\sqrt{1+x}+1}=1
\end{aligned}
$$

我们还可以得到一个更一般的结论:

$$
x \rightarrow 0 \text { 时， }(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x \quad(\alpha \in \mathrm{R}, \alpha \neq 0) \text {. }
$$

我们先看关于等价无穷小的两个定理.
定理3 设 $\alpha ， \beta$ 为自变量的同一变化过程中的无穷小，则 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件为 $\beta=\alpha+o(\alpha)$. 证明 必要性: 设 $\alpha \sim \beta$ ，则

$$
\lim \frac{\beta-\alpha}{\alpha}=\lim \left(\frac{\beta}{\alpha}-1\right)=0
$$

因此， $\beta-\alpha=o(\alpha)$ 即 $\beta=\alpha+o(\alpha)$
充分性： 设 $\beta=\alpha+o(\alpha)$ ，则
因此， $\alpha \sim \beta$.

$$
\lim \frac{\beta}{\alpha}=\lim \frac{\alpha+o(\alpha)}{\alpha}=\lim \left(1+\frac{o(\alpha)}{\alpha}\right)=1,

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