等价无穷小的应用

日期: 2022-12-27 14:43 查看: 71 次

(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^2+2 x}$
解 (2) 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin x \sim x$ ， 所以

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^2+2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x(x+2)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x+2}=\frac{1}{2} ;
$$

题 (3) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ^2(1+x)}{1-\cos x}$
解 (3) 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln (1+x) \sim x ， 1-\cos x \sim \frac{1}{2} x^2$ ，所以

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln ^2(1+x)}{1-\cos x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}}=2
$$

题 (4) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}$
题（4）当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sqrt{1+x} \sim \frac{1}{2} x ， \arctan x \sim x$ ，所以

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\arctan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x}{\frac{2}{x}}=\frac{1}{2}
$$

例7 求 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^a}{x-a}$.
解 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^a}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^a\left(\mathrm{e}^{x-a}-1\right)}{x-a}=\mathrm{e}^a \lim _{x \rightarrow a} \frac{\mathrm{e}^{x-a}-1}{x-a}=\mathrm{e}^a \cdot 1=\mathrm{e}^a$ 其中 $\mathrm{e}^{x-a}-1 \sim x-a \quad(x \rightarrow a)$.

例8 当 $x \rightarrow 0$ 时， $\left(1+\alpha x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 为等价无穷小，求常数 $\alpha$ 的值.
解 由 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\alpha x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1}{\cos x-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3} \alpha x^2}{-\frac{1}{2} x^2}=-\frac{2}{3} \alpha=1$ ，
得 $\alpha=-\frac{3}{2}$.

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