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函数连续性
日期:
2023-08-23 14:01
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**引子** 对于函数 $y=\frac{x^2-1}{x-1} ， \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2$ ，当 $x \rightarrow 1$ 时极限是存在的，但是函 数 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处是没有定义的，所以在 $x=1$ 处曲线是 "断" 的(见图1-51). 而对于函数 $y=x+1 ， \lim _{x \rightarrow 1} x+1=2 ，$ 这时函数的曲线 就是 "不断" 的(见图1-52)，这样的函数称为 "连续" 函数.  “连续性”这个概念在日常生活中处处存在， 如气温的变化、地球的转动、动植物的生长等均是连续变化的. 这种现象在函数关系上的反映， 就是“函数的连续性”. 例如， 就植物的生长来看， 当时间变化很微小时， 植物也相应发生微小的变化， 这种特点就是所谓的连续性. 注 $\Delta u$ 可正可负. 当 $\Delta u>0$ 时， $u_2=\Delta u+u_1$ ，变量 $u$ 是增大的（见图1-53）； 当 $\Delta u<0$ 时， $u_2=\Delta u+u_1$ ，变量 $u$ 是减少的（见图1-54）.  设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0+\Delta x$ 时，相 应的函数 $f(x)$ 也发生变化: $f\left(x_0\right) \rightarrow f\left(x_0+\Delta x\right)$ ，此时函数 $y$ 的对应增量（见图1-55) 为 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.  **函数在一点处的连续性** 定义 2 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right]=0 ， $$ 则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续. 和极限概念中有左、右极限一样，函数也有左、右连续的概念. 若 $f\left(x_0^*\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ， 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续； 若 $f\left(x_0^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续. 显然有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right) \Leftrightarrow f\left(x_0^{-}\right)=f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0\right)$ ， 即函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续且右连续. 从上述性质可以看出，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，等价于其在 $x_0$ 处的左极限、右 极限存在且相等并等于该点的函数值. 其中只要有一条不成立，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续. 例 1 用连续性定义证明 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处连续. 证明 当自变量 $x$ 的增量为 $\Delta x$ 时，函数 $y=x^2$ 对应的增量为 $$ \Delta y=\left(x_0+\Delta x\right)^2-x_0^2=2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2 $$ 由于 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[2 x_0 \Delta x+(\Delta x)^2\right]=0$ 因此 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处连续. 我们也很容易知道， $y=\sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处右连续(请读者自行证明).
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