左右导数

日期: 2022-12-27 19:35 查看: 96 次

下面我们来看 $y=|x|$ 点 $x=0$ 处的导数.

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|x|}{x}
$$

我们发现这个极限不存在，但是它的左极限
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{-x}{x}=-1$ 和右极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{|x|}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1$ 都是存在的.
所以就像左、右连续的概念一样，我们需引入左、右导数的概念.

若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数，记作 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ；
若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记作 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$.

因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论:
函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数 存在且相等.
现在，我们可回答函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导的原因:

$$
f_{+}^{\prime}(0) \neq f_{-}^{\prime}(0)
$$

例8 已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x & x<0 \\ x & x \geq 0\end{array}\right.$ ，求 $f_{+}^{\prime}(0), f_{-}^{\prime}(0)$ 及 $f^{\prime}(0)$.
解 $f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1$,

$$
f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}=1,
$$

故 $f^{\prime}(0)=1$.

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