反函数的求导法则

日期: 2022-12-27 19:48 查看: 101 次

定理 3 如果单调函数 $x=\varphi(y)$ 在某一区间 $I_y$ 内可导，且 $\varphi^{\prime}(y) \neq 0$ ，则它 的反函数 $y=f(x)$ 在对应的区间 $I_x=\left\{x \mid x=\varphi(y), y \in I_y\right\}$ 内也可导，且

$$
f^{\prime}(x)=\left.\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\right|_{y=f(x)}
$$

证明 由反函数存在定理可知 $y=f(x)$ 是单调、连续的，当 $x$ 取得增量 $\Delta x$ 时， $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \neq 0 \quad(f(x)$ 单调 $)$.
当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，有 $\Delta y \rightarrow 0 \quad(f(x)$ 连续 $)$.

$$
f^{\prime}(x)=\left.\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}\right|_{y=f(x)}
$$

因为 $x=\varphi(y)$ 可导，且 $\varphi^{\prime}(y) \neq 0$ ，即 $\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta y} \neq 0$ ， 因此，

$$
f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{\varphi^{\prime}(y)}
$$

本定理也可简单叙述为: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

利用反函数的求导法则可以求出四个反三角函数的导数.
$y=\arcsin x$ 是 $x=\sin y$ 的反函数， $x=\sin y\left\{-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\right\}$ 在 $I_y=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内单调、可导， 且 $(\sin y)_y^{\prime}=\cos y>0$ ， 因此，在对应的 $I_x=(-1,1)$ 内，有

$$
(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{(\sin y)^{\prime}}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$

(由于 $\cos y$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内大于零，故取正号)；
同理可得

$$
(\arccos x)^{\prime}=\frac{1}{(\cos y)^{\prime}}=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos ^2 y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
$$

(由于 $\cos y$ 在 $(0, \pi)$ 内大于零，故取正号) ；

$y=\arctan x$ 是 $x=\tan y\left\{-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\right\}$ 的反函数， $x=\tan y$ 在 $I_y=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内单调、可导，且 $(\tan y)^{\prime}=\sec ^2 y \neq 0$ ， 因此，在对应的 $I_x=(-\infty,+\infty)$ 内， 有 $(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{(\tan y)^{\prime}}=\frac{1}{\sec ^2 y}=\frac{1}{1+\tan ^2 y}=\frac{1}{1+x^2}$
同理可得

$$
(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=\frac{1}{(\cot y)^{\prime}}=-\frac{1}{\csc ^2 y}=-\frac{1}{1+\cot ^2 y}=-\frac{1}{1+x^2}

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