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求导公式
日期:
2022-12-27 19:49
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1. 基本求导公式 (1) $(C)^{\prime}=0$ ； (2) $\left(x^\mu\right)^{\prime}=\mu x^{\mu-1}$; (3) $(\sin x)^{\prime}=\cos x$; (4) $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$; (5) $(\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x$; (6) $(\cot x)^{\prime}=-\csc ^2 x$; (7) $\quad(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x$; (8) $\quad(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x$; (9) $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a(a>0, a \neq 1)$; (10) $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x$; (11) $\quad\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}(a>0, a \neq 1)$; (12) $\quad(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$; (13) $(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$; (14) $(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$; (15) $\quad(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}$; (16) $(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^2}$. 若 $u 、 v$ 可导，则 $$ (u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} ; \quad(u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime} \quad ; \quad\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}(v \neq 0) . $$ 例11 求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0<x \leq 1 \\ x^2+1, & 1<x<2\end{array}\right.$ 的导数. 解 求分段函数的导数时，在每一区间段内的导数可按一般求导法则计算， 但在分段要用左、右导数的定义求之. 当 $0<x<1$ 时， $f^{\prime}(x)=(2 x)^{\prime}=2$, 当 $1<x<2$ 时， $f^{\prime}(x)=\left(x^2+1\right)^{\prime}=2 x$, 当 $x=1$ 时， $f_{-}^{\prime}(1)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{2 x-2}{x-1}=2$ $f_{+}^{\prime}(1)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^2+1-2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x^2-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}(x+1)=2$ 由 $f_{+}^{\prime}(1)=f_{-}^{\prime}(1)=2$ 知， $f^{\prime}(1)=2$. 所以 $f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{cc}2, & 0<x \leq 1 \\ 2 x, & 1<x<2\end{array}\right.$.
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2022-12-27 19:49
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