复合函数求导法则

日期: 2022-12-27 19:54 查看: 93 次

**复合函数的正确分解**
$y=f[g(x)]$ 由内函数 $u=g(x)$ 和外函数 $y=f(u)$ 复合而成.
例如， $y=\sin ^2 x$ 由 $u=\sin x$ 和 $y=u^2$ 复合而成，
$y=\ln \frac{x^2-1}{x^2+1}$ 由 $u=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ 和 $y=\ln u$ 复合而成.

**函数的表示方式**

函数 $y=f(x)$ 表示变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应关系， 这种对应关系可 以用不同的方式表达。例如， $y=\sin x, y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ ，用这种 方式表达的函数叫作显函数. 但也有些函数的表达方式不是这样，如 $x \mathrm{e}^y-y+1=0 ， \quad x+y^3+1=0 \quad$ 通过一个方程确定变量 $y$ 与 $x$ 之间的对应 关系，这样的函数称为隐函数.

**由参数确定的方程**
在实际问题中，函数 $y$ 与自变量 $x$ 可能不是直接由 $y=f(x)$ 表示， 而是通过一参变量 $t$ 来表示，即

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{array}\right.
$$

定理 1 (复合函数的求导法则)
如果 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导， $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导，且有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text { (即 } y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) \text { ) }
$$

证明
因为 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导，故 $f^{\prime}(u)=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}$ 即 $\frac{\Delta y}{\Delta u}=f^{\prime}(u)+\alpha$ ， 其中 $\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha=0$

定理 1 (复合函数的求导法则)
如果 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导， $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导，且有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} \text { （即 } y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) \text { ) }
$$

当 $\Delta u \neq 0$ 时，用 $\Delta u$ 乘上式两边，得 $\Delta y=f(u) \Delta u+\alpha \Delta u$
当 $\Delta u=0$ 时，规定 $\alpha=0$ ，此时由于 $\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=0 ，(1)$ 式也成立. 故
当 $\Delta x \neq 0$ 时，由 (1)式除以 $\Delta x$ ，得 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}$.

定理 1 (复合函数的求导法则)
如果 $y=f(u)$ 在点 $u$ 处可导， $u=g(x)$ 在点 $x$ 处可导，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 在点 $x$ 处可导，且有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}\left(\text { 即 } y^{\prime}(x)=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x)\right. \text { ) }
$$

由 $u=g(x)$ 在点 $x$ 处连续(可导 $\Rightarrow$ 连续)知， 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，
$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x) \rightarrow 0$ 故 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \alpha=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \alpha=0$ 因此，

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f^{\prime}(u) \frac{\Delta u}{\Delta x}+\alpha \frac{\Delta u}{\Delta x}\right]=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x) \text { 即 } \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}
$$

复合函数的求导法则也称为链式法则， 它可推广到有限个函数复合的情形.
比如，若 $y=f(u) ， u=g(v)$ 和 $v=h(x)$ 可导，则 $y=f\{g[h(x)]\}$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x}=f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(v) \cdot h^{\prime}(x)
$$

求下列函数的导数
(1) $y=e^{2x}$
设 $y=\mathrm{e}^u, u=2 x$ 则

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(2 x)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot 2=2 \mathrm{e}^u=2 \mathrm{e}^{2 x}
$$

(2) $y=\sin x^2$
设 $y=\sin u, u=x^2$ ，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sin u)^{\prime} \cdot\left(x^2\right)^{\prime}=\cos u \cdot 2 x=2 x \cos x^2$

(3) $y=\left(x^2+1\right)^{10}$
设 $y=u^{10}, u=x^2+1$ ，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=10 u^9 \cdot 2 x=10\left(x^2+1\right)^9 \cdot 2 x=20 x\left(x^2+1\right)^9$

（4 ) $y=\sqrt{1-x^2} \quad$ 函数 $y=\sqrt{1-x^2}$ 可以看作由 $y=\sqrt{u}$ 和 $u=1-x^2$ 复合而成，故

$$
y^{\prime}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=(\sqrt{u})^{\prime} \cdot\left(1-x^2\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot(-2 x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}
$$

(5) $y=\ln (\sin x)$

$$
y^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot(\sin x)^{\prime}=\frac{1}{\sin x} \cdot \cos x=\cot x
$$

(6) $y=\cos ^2 x$

$$
y^{\prime}=2 \cos x \cdot(\cos x)^{\prime}=2 \cos x \cdot(-\sin x)=-\sin 2 x
$$

(7) $y=\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}$
函数 $y=\mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}}$ 由 $y=\mathrm{e}^u$ 和 $u=\sin v$ 及 $v=\frac{x}{2}$ 复合而成，故

$$
y^{\prime}=\left(\mathrm{e}^u\right)^{\prime} \cdot(\sin u) \cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^u \cdot \cos v \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\sin \frac{x}{2}} \cos \frac{x}{2}
$$

(8) $y=\left(x+\sin ^2 x\right)^3$

$$
\begin{aligned}
y^{\prime} & =\left[\left(x+\sin ^2 x\right)^3\right]^{\prime}=3\left(x+\sin ^2 x\right)^2\left(x+\sin ^2 x\right)^{\prime} \\
& =3\left(x+\sin ^2 x\right)^2\left[1+2 \sin x \cdot(\sin x)^{\prime}\right] \\
& =3\left(x+\sin ^2 x\right)^2(1+\sin 2 x)
\end{aligned}
$$

例 2 求 $y=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 的导数.
解 $y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt[2]{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} \cdot \frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=\frac{1}{(1-x) \sqrt{1-x^2}}$

例3 求函数 $y=\ln \sqrt{x^2+1}$ 的导数.
解 因为 $y=\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right)$ ，所以

$$
y^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot\left(x^2+1\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2 x=\frac{x}{x^2+1} .
$$

例4 求幂指函数 $y=x^{\frac{1}{x}}(x>0, x \neq 1)$ 的导数.
解 由对数的性质可知， $y=x^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{\ln x^{\frac{1}{x}}}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}$ ，因此

$$
y^{\prime}=\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{\prime}=\left(\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{\frac{\ln x}{x}} \cdot\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{\prime}=x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\ln x}{x^2}
$$

例5 已知 $f(u)$ 可导，求函数 $y=f(\tan x)$ 的导数.
解 $y=f(\tan x)$ 由 $y=f(u)$ 和 $u=\tan x$ 复合而成，由复合函数求导法则可知， $y^{\prime}=[f(\tan x)]^{\prime}=f^{\prime}(u) \cdot(\tan x)^{\prime}$ ， 即 $y^{\prime}=[f(\tan x)]^{\prime}=f^{\prime}(\tan x) \cdot(\tan x)^{\prime}=f^{\prime}(\tan x) \cdot \sec ^2 x$
注 求此类含抽象函数的导数时，应特别注意记号表示的真实含义. 此例中， $f^{\prime}(\tan x)$ 表示对 $\tan x$ 求导，而 $[f(\tan x)]^{\prime}$ 表示对 $x$ 求导.

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