不定积分

日期: 2022-12-29 18:45 查看: 101 次

按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
例 1 设 $f(x)$ 和 $f^{\prime}(x)$ 均连续, 问: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)$ 与 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 是否相等?
解 不相等.
设 $F^{\prime}(x)=f(x)$, 则

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(F(x)+C)=F^{\prime}(x)+0=f(x) .
$$

而由不定积分定义 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)+C$, 知 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right) \neq \int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$.

例2 $\int x^\alpha \mathrm{d} x(\alpha \neq-1, x>0)$.
解 因为 $\left(x^{\alpha+1}\right)^{\prime}=(\alpha+1) x^\alpha$, 所以 $\left(\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}\right)^{\prime}=x^\alpha$, 即 $\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}$ 是 $x^\alpha$ 的一个原函数. 故

$$
\int x^\alpha \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C .
$$

例3 求 $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x\left(\int x^{-1} \mathrm{~d} x\right)$.
解 当 $x>0$ 时, $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$;
当 $x<0$ 时, 即 $-x>0$ 时, $[\ln (-x)]^{\prime}=\frac{1}{-x} \cdot(-1)=\frac{1}{x}$.
故 $\ln x$ 为 $\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一个原函数, $\ln (-x)$ 为 $\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的一个原函
数. 故当 $x \neq 0$ 时, $\ln |x|$ 为 $\frac{1}{x}$ 的一个原函数, 从而

$$
\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C \quad(x \neq 0) .
$$

例4 $\int a^x \mathrm{~d} x \quad(a \neq 1, a>0)$
解 因 $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a,\left(\frac{1}{\ln a} a^x\right)^{\prime}=a^x$, 故 $\frac{1}{\ln a} a^x$ 是 $a^x$ 的一个原函数, 从而

$$
\int a^x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\ln a} a^x+C .
$$

例5 设曲线通过点 $(1,1)$, 且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的 平方, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为 $y=f(x)$. 根据题意知曲线上任意一点 $(x, y)$ 处的 切线斜率为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x^2$. 由 $\int x^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{3} x^3+C$ 得曲线方程 $y=\frac{1}{3} x^3+C$.
又 $\left.y\right|_{x=1}=1$, 故 $C=\frac{2}{3}$, 因此所求的曲线方程为

$$
y=\frac{1}{3} x^2+\frac{2}{3} \text {. }
$$

以 $\int x^2 \mathrm{~d} x=\frac{x^3}{3}+C$ 为例, 我们来看关于不定积 分的几何意义.
$y=\frac{x^3}{3}+C$ 的图形为 $y=\frac{x^3}{3}$ 的图形沿 $y$ 轴方向 移动一段距离 $|C|$ 得到的. $C>0$ 时向上移, $C<0$ 时 向下移 (见图3-1). 通常称 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$ 的图形为函数 $f(x)$ 的积分曲线, 不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ 在几何上表示积分曲线族. 在积分曲线族 上, 横坐标相同的点处的切线是相互平行的.

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