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积分上限函数
日期:
2022-12-30 08:39
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积分学中要解决两个问题: 第一个问题是原函数的求法问题, 前文已经 对它做了讨论, 第二个问题就是定积分的计算问题. 如果按定积分的定义来 计算定积分, 那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成 为积分学发展的关键. 我们知道, 不定积分作为原函数的概念与定积分作为 积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是, 牛顿和莱布尼茨不仅 发现而且找到了这两个概念之间存在的深刻的内在联系, 即所谓的“ 微积分 基本定理”, 并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径一一牛顿-莱布尼茨公式, 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科一微积分学. 牛顿和 莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册. 设物体做直线运动, 已知速度 $v=v(t)$, 是时间间隔 $[0, T]$ 上 $t$ 的连续函数, 且 $v(t) \geq 0$. 对于等速直线运动, 有公式: 路程 $-$ 速度 $\times$ 时间, 现在速度是随着时间变 化的变量, 因此不能直接按等速直线运动的路径公式来计算.. 将时间 $[0, T]$ 任意地分成 $n$ 小段 $\left[t_{i-1}, t_i\right]$ (其中 $i=1,2, \cdots, n, t_0=0, t_n=T$ ), 任 取 $\tau_i \in\left[t_{i-1}, t_i\right](i=1,2, \cdots, n)$, 则 $\Delta S_i \approx v\left(\tau_i\right) \Delta t_i(i=1,2, \cdots, n), \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta t_i\right\}$, 因此 得到变速 $(v=v(t), t \in[0, T])$ 直线运动的路程 $$ S=\sum_{l=1}^n \Delta S_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{l=1}^n v\left(\tau_i\right) \Delta t_i=\int_0^T v(t) \mathrm{d} t $$ 另一方面, 这段路程又可通过位置函数 $S(t)$ 在时间 $[0, T]$ 上的增量来表示: $S(T)-S(0)$, 因此有 $\int_0^T v(t) \mathrm{d} t=S(T)-S(0)$, 且 $S^{\prime}(t)=v(t)$, 从而有 $$ \int_0^T v(t) \mathrm{d} t=\int_0^T S^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\left.S(t)\right|_0 ^T=\left.\left(\int v(t) \mathrm{d} t\right)\right|_0 ^T . $$ 此公式揭示了速度函数的定积分和不定积分的关系. 这是一种偶然的巧合, 还是一种具有一般意义的计算公式呢? 答案是肯定的. 下面就来推导一般的结 果, 通过求原函数的方法来计算定积分, 该结果称为微积分基本定理. 设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 内连续, $x$ 为 $[a, b]$ 上的任意一点(见图 3-12), 则积分 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} x$ 存在, 这里上限 $x$ 是 $[a, b]$ 上的任意取定的一点, 当 $x$ 在 $[a, b]$ 上变化时, $\int_a^x f(t) \mathrm{d} x$ 的值也随之变化. 由于积分值与积分变量用什么字母表示无关, 故原来 的 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} x$ 用 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 表示更妥,故 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 为 $[a, b]$ 上变量 $x$ 的函数, 称为 $f(x)$ 的积分上限的函数. 记为 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) d t$,$(a \leq x \leq b)$. 同理 $\int_x^b f(t) \mathrm{d} t$ 也是$x$ 的函数 $(a \leq x \leq b)$, 称为 $f(x)$ 的积分下限的函数.  由定积分的几何意义，我们可以看到 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示整块曲边梯形的面积， 而 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 表示区间 $[a, x] \Phi(x)$ 上对应的曲边梯形的面积. 对于 $\Phi(x)$ ， 有下列性质: 定理 1 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且 $$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) . $$ 证明 考虑 $\Delta \Phi(x)$ 并利用积分中值定理(见图 3-13), 有 $$ \Delta \Phi(x)=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_a^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t-\int_a^x f(t) \mathrm{d} t=\int_x^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi) \Delta x, $$ 其中 $\xi$ 介于 $x, x+\Delta x$ 之间, 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\xi \rightarrow x$, 因此 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta \Phi(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi)=f(x), $$ 即 $$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) . $$ 注 从定理的结论可以看出 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 因此有以下定理.  定理 2 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上 的一个原函数, 即 $$ \Phi^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b] . $$ 定理 2 的意义在于: (1)连续函数的原函数是存在的, 这样就解决了不定积分中连续函数的原函 数的存在的证明; (2)指出了获得连续函数的原函数的具体方法. 推论 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $\Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t, a \leq a(x)<b(x) \leq b$, $a(x), b(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则 $$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t=b^{\prime}(x) f(b(x))-a^{\prime}(x) f(a(x)) . $$ 证明 $\Phi(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t=\int_c^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t+\int_{a(x)}^c f(t) \mathrm{d} t=\int_c^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t-\int_c^{a(x)} f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $c \in[a, b]$, 考虑 $F(x)=\int_c^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t=\left.\int_c^u f(t) \mathrm{d} t\right|_{u=b(x)}$, 则 $$ F^{\prime}(x)=\left.f^{\prime}(u)\right|_{u=b(x)} \cdot b^{\prime}(x)=f(b(x)) b^{\prime}(x), $$ 因此, $$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t=b^{\prime}(x) f(b(x))-a^{\prime}(x) f(a(x)) . $$ 特别地, 若 $a(x) \equiv a \in R$, 则 $$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^{b(x)} f(t) \mathrm{d} t=b^{\prime}(x) f(b(x)) . $$ 若 $b(x) \equiv b \in R$, 则 $$ \Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{a(x)}^b f(t) \mathrm{d} t=-a^{\prime}(x) f(a(x)) . $$
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