引子

日期: 2022-12-30 13:36 查看: 88 次

微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究 的变量之间的函数关系, 而比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间 的联系, 从而得到一个关于末知函数的导数或微分的方程, 即微分方程. 通过求 解这种方程, 同样可以找到指定末知量之间的函数关系. 比如, 已知 $y^{\prime}=\cos 2 x$, 由不定积分的计算很容易知道 $y$ 的表达式:

$$
y=\int \cos 2 x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \sin 2 x+C
$$

但是如果已知 $y^{\prime}+y=\cos 2 x$, 仅仅是求原函数的公式是不够的, 它需要利用 微分方程自己的一些方法和技巧才能得到 $y$ 的表达式.

在初等数学中, 含有末知量的等式称为方程, 它表达了末知量所必须满足的 某种条件, 比如一元二次方程 $a x^2+b x+c=0$, 分式方程 $\frac{1}{1+x}+\frac{4 x}{1-x^2}=\frac{2}{x+2}$, 三 角方程 $\sin 3 x-3 \cos 2 x-\tan ^2 x+1=0$, 而我们现在要介绍的是含有末知函数的导 数的方程, 例如

$$
\begin{aligned}
& y^{\prime}+y \tan x=\cos x, \\
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{4 x}{y(x-3)}, \\
& y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{3 x},
\end{aligned}
$$

下面通过几个具体的例子来说明微分方程的基本概念.

例 1 一曲线通过点 $(1,2)$ (见图 4-1), 且在该 曲线上任一点 $M(x, y)$ 处的切线的斜率为 $2 x$, 求该曲线的方程.
解: 设所求曲线的方程为 $y=y(x)$ ，根据 导数的几何意义，可知末知函数 $y=y(x)$ 应满足 关系式
$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=2 x$. (称为一阶微分方程)
此外, 末知函数 $y=y(x)$ 还应满足下列条件:
$x=1$ 时, $y=2$, 简记为 $\left.y\right|_{x=1}=2$.(称为初始条件)
(2)
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把(1)式两端积分, 得
$y=\int 2 x \mathrm{~d} x$, 即 $y=x^2+C$. (称为微分方程的通解)
其中 $C$ 是任意常数.
把条件 “ $x=1$ 时 $y=2$ "代入(3)式, 得

$$
2=1^2+C \text {, }
$$

由此定出 $C=1$. 把 $C=1$ 代入(3)式, 得所求曲线方程
$y=x^2+1$. (称为微分方程满足初始条件 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解)

例 2 列车在平直线路上以 $20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (相当于 $72 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ ) 的速度行驶, 当制动时列 车获得加速度 $-0.4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. 开始制动后多少时间列车才能停住? 列车在这段时间 里行驶了多少路程?
解 设列车在开始制动后 $t$ 时行驶的距离为 $s$ 米. 根据题意, 反映制动阶段 列车运动规律的函数 $s=s(t)$ 应满足关系式
$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=-0.4$. (称为二阶微分方程)
此外, 末知函数 $s=s(t)$ 还应满足下列条件:

$$
t=0 \text { 时, } s=0, v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=20 \text {. }
$$

简记为 $\left.s\right|_{t=0}=0,\left.s^{\prime}\right|_{t=0}=20$. (两个初始条件)

$\frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{~d} t^2}=-0.4$. (称为二阶微分方程)
把(4)式两端积分一次, 得

$$
v=\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t_{-}}=-0.4 t+C_1 ;
$$

再积分一次, 得

$$
s=-0.2 t^2+C_1 t+C_2 .
$$

这里 $C_1, C_2$ 都是任意常数.
把条件 $\left.v\right|_{t=0}=20$ 代入(6)得 $\quad 20=C_1$,

把条件 $\left.s\right|_{t=0}=0$ 代入(7)得 $0=C_2$.
把 $C_1, C_2$ 的值代入(6)及(7)式得

$$
v=-0.4 t+20 \text {, }
$$

$$
s=-0.2 t^2+20 t \text {, }
$$

在 (8)式中令 $v=0$, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

$$
t=\frac{20}{0.4}=50(s) .
$$

再把 $t=50$ 代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程

$$
s=-0.2 \cdot 50^2+20 \cdot 50=500 \mathrm{~m}
$$

例 3 已知放射性物质镭的裂变规律是裂变速度与余存量成比例. 记在某一 时刻 $t=t_0$, 镭的余存量为 $R_0 \mathrm{~g}$, 试确定镭在任意时刻 $t$ 的余存量 $R(t)$.
解 由于 $\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}$ 是镭的增长速度, 因此裂变速度(减少速度)应为 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}$, 从 而按裂变规律, 有 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}=k R(t)$, 其中 $k$ 为比例系数. 要解决上述问题, 就要确 定 $R(t)$.
上式可写成 $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} R}=-\frac{1}{k R}$, 两边对 $R$ 积分: $\int \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} R} \mathrm{~d} R=-\int \frac{1}{k R} \mathrm{~d} R$ 得 $t=-\frac{1}{k} \ln R+C_1$, 其 中 $C_1$ 为任意常数. 从而 $R=\mathrm{e}^{-k t+k C}=C \mathrm{e}^{-k t}$, 其中 $C$ 为任意常数.
由 $R\left(t_0\right)=R_0$, 得 $C=R_0 \mathrm{e}^{k t_0}$, 因此 $R=R_0 \mathrm{e}^{-k\left(t-t_0\right)}$ 即为所求.

注 式子 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}=k R(t)$ 即为微分方程, 它表示函数 $R(t)$ 的一个变化规律, 即其减少速度 $-\frac{\mathrm{d} R(t)}{\mathrm{d} t}$ 与其本身 $R(t)$ 成比例. 尽管我们是从镭的裂变这一特殊问 题导出此方程, 但此方程应用远不止此, 只要某物理量的变化服从同样的规律, 就可用此方程来确定.
上面的几个例子, 尽管实际意义不同, 但是解决问题的方法都是首先建立一 个含有末知函数的导数的方程, 然后通过这个方程, 求满足所给的条件的末知函 数.

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