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向量的混合积
日期:
2022-12-30 16:52
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定义 3 设三向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b} ， \boldsymbol{c}$ ，先作向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，再作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ，记作 $[a b c]$ ，称为三个向量 $a ， b ， c$ 的混合积. 下面我们来看混合积的坐标表示式. $$ \begin{aligned} \text { 设 } \boldsymbol{a} & =\left(a_x, a_y, a_z\right)=a_x \boldsymbol{i}+a_y \boldsymbol{j}+a_z \boldsymbol{k} ， \boldsymbol{b}=\left(b_x, b_y, b_z\right)=b_x \boldsymbol{i}+b_y \boldsymbol{j}+b_z \boldsymbol{k} ， \\ \boldsymbol{c} & =\left(c_x, c_y, c_z\right)=c_x \boldsymbol{i}+c_y \boldsymbol{j}+c_z \boldsymbol{k} ， \\ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} & =\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{array}\right| \boldsymbol{i}+(-1)\left|\begin{array}{ll} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{array}\right| \boldsymbol{j}+\left|\begin{array}{ll} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{array}\right| \boldsymbol{k} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} & =\left|\begin{array}{ll} a_y & a_z \\ b_y & b_z \end{array}\right| c_x+(-1)|| \begin{array}{ll} a_x & a_z \\ b_x & b_z \end{array}\left|c_y+\right| \begin{array}{cc} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{array}\left|c_z=\right| \begin{array}{lll} c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array} \mid \\ & =\left|\begin{array}{lll} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ a_x & a_y & a_z \end{array}\right| \end{aligned} $$ 由此可得： $$ [a b c]=(a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b=c \cdot(a \times b)=a \cdot(b \times c)=b \cdot(c \times a) $$ 混合积是一个数，它的绝对值表示以向向量 $a 、 b 、 c$ 为棱的平行六面体的 体积. 若 $a 、 b 、 c$ 成右手系时， $[a b c] \geq 0$ ；若 $a$ 、 $\boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 成左手系时， $[\boldsymbol{a} \boldsymbol{b} \boldsymbol{c}] \leq 0$. 事实上，由于 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \sin (\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})$ 表示边 长为 $|a| 、|b|$ 的平行四边形面积 (见图 5-31)，  例 17 已知 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=2$ ，计算 $[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})$. $$ \text { 解 } \begin{aligned} & {[(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a})=[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}] \cdot(\boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}) } \\ &=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{c} \\ &+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}) \cdot \boldsymbol{a} \\ &=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}+0+0+0+0+0+0+(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} \\ &= 2(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=4 . \end{aligned} $$ 例 18 已知空间内不在同一平面上的四点 $A\left(x_1, y_1, z_1\right), B\left(x_2, y_2, z_2\right), C\left(x_3, y_3, z_3\right), D\left(x_4, y_4, z_4\right)$ 求四面体的体积. 解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 $A B 、 A C 、 A D$ 为棱的平行六 面体的体积的六分之一: $V=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{lll}A B & A C & A D\end{array}\right]$, $$ \text { 而 }\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{A B}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1\right) \\ \overrightarrow{A C}=\left(x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1\right) \\ \overrightarrow{A D}=\left(x_4-x_1, y_4-y_1, z_4-z_1\right) \end{array}\right. \text {. } $$ 所以 $V=\pm \frac{1}{6}\left|\begin{array}{lll}x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1\end{array}\right|$. 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 例 19 已知 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{i}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{c}=2 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$ ，求一单位向量 $\gamma$ 使 $\gamma \perp \boldsymbol{c}$ ，且 $\gamma$ 与 $a, b$ 此同时共面. 解 设所求向量 $\gamma=(x, y, z)$. 依题意 $|\gamma|=1, \boldsymbol{\gamma} \perp \boldsymbol{c}, \boldsymbol{\gamma}$ 与 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共面，可得 $$ x^2+y^2+z^2=1 $$ $\gamma \cdot c=0$, 即 $2 x-2 y+z=0$ 将式(1)式(2)与式(3)联立解得 $x=\frac{2}{3}$ 或 $-\frac{2}{3}, y=\frac{1}{3}$ 或 $-\frac{1}{3}, z=-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$, 所以 $\gamma=\pm\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$
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