空间曲线及其方程

日期: 2022-12-30 18:57 查看: 89 次

1、空间曲线的一般方程
空间曲线可看作是两个相交曲面的交线，即若设二个相交曲面的方程分别是 $F(x, y, z)=0$ 和 $G(x, y, z)=0$ ，则

$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x, y, z)=0, \\
G(x, y, z)=0
\end{array}\right.
$$

就表示其交线 $C$ 的方程 (见图 5-65）.
![图片](/uploads/2022-12/image_2022123098b9199.png)
显然，曲线 $C$ 上的点的坐标一定同时满足两曲面的方程： $F(x, y, z)=0$ ， $G(x, y, z)=0$ ； 反之不是曲线 $C$ 上的点的坐标一定不能同时满足两曲面的方程. 则

$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x, y, z)=0, \\
G(x, y, z)=0
\end{array}\right.
$$

就称为曲线 $C$ 的一般方程.

例 7 方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=1, \\ 2 x+3 z=6\end{array}\right.$ 表示怎样的曲线?
解 $x^2+y^2=1$ 表示圆柱面， $2 x+3 z=6$ 表示 平面，方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=1, \\
2 x+3 z=6
\end{array}\right. \text { 的交线为椭圆 (见图 5-66). }
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212306ba294d.png)

例 8 方程组 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \\ \left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{a^2}{4}\end{array}\right.$ 表示怎样的曲线?
解 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 表示上半球面，
$\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\frac{a^2}{4}$ 表示圆柱面，
球面与柱面的交线如图 5-67 中曲线 $C$,

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230409fa5b.png)
注 表示空间一条曲线的方程并不唯一，即如曲线 $C$ 方程可表示为 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 也可用和它等价的任何两个方程所联列的方程组来替代它. 如 $O z$ 轴所在直线可认为是平面 $x=0$ 与 $y=0$ 的交线，即 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0,\end{array}\right.$ 也可认为是平面 $x+y=0$ 与 $x-y=0$ 的交线，即 $\left\{\begin{array}{l}x+y=0, \\ x-y=0 .\end{array}\right.$

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