隐函数的求导公式

日期: 2022-12-31 09:39 查看: 73 次

在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接 由方程

$$
F(x, y)=0,
$$

来求它所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的导数的方法.
那时， 实际上假定方程 $F(x, y)=0$ 能确定 $y$ 是 $x$ 的函数 $y=f(x)$ ，函数 $y=f(x)$ 具有导数 $y^{\prime}$. 但是事实上并不是任何一个方程 $F(x, y)=0$ 都能确定 $y$ 是 $x$ 的函数，且使 $y=f(x)$ 可导. 那么，在什么条件下，从方程 $F(x, y)=0$ 中可以 确定 $y$ 是 $x$ 的函数? 这个函数是否可导? 如何来求该导数? 现在我们来回答这 些问题.
定理 4 (隐函数存在定理 1) 设函数 $F(x, y)$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内具 有连续的偏导数，且

$$
F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0, F\left(x_0, y_0\right)=0 \text {, }
$$

则方程 $F(x, y)=0$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 $y=f(x)$, 它满足 $y_0=f\left(x_0\right)$, 并有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y} .
$$

本定理不作严格证明，仅就结论作以下推导.
方程 $F(x, y)=0$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内恒能唯一确定一个连续函数 $y=f(x)$ ，则将 $y=f(x)$ "代入" $F(x, y)=0$ ，使其成为恒等式: $F(x, f(x)) \equiv 0$.
等式左边的函数 $F(x, f(x))$ 是一个复合函数，它的函数结构图为

![图片](/uploads/2022-12/image_20221231d001c92.png)
求此方程的全导数 $F_x+F_y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ ，
由于 $F_y(x, y)$ 连续，且 $F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，因此存在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域，在这 个邻域内， $F_y(x, y) \neq 0$ ，于是得 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}$.
注 如果 $F(x, y)$ 的二阶偏导数也连续，则可把上面等式两端看作 $x$ 的复合函 数而再次求导，得:

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{F_x}{F_y}\right) \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x} \\
= & -\frac{F_{x x} F_y-F_x F_{y x}}{F_y^2}-\frac{F_{x y} F_y-F_x F_{y y}}{F_y^2} \cdot\left(-\frac{F_x}{F_y}\right)=-\frac{F_{x x} F_y^2-2 F_x F_y F_{x y}+F_{y y} F_x^2}{F_y^3} .
\end{aligned}
$$

例 11 验证方程 $x^2+y^2-1=0$ 在点 $(0,1)$ 的某邻域内能唯一确定一个有连续 导数，当 $x=0$ 时 $y=1$ 的隐函数 $y=f(x)$ ，求函数的一阶和二阶导数在 $x=0$ 的值.
证 令 $F(x, y)=x^2+y^2-1$ ，则

$$
F_x=2 x ， \quad F_y=2 y ， \quad F_x(0,1)=0 ， \quad F_y(0,1)=2 \neq 0 ，
$$

依定理 4 知方程 $x^2+y^2-1=0$ 在点 $(0,1)$ 的某领域内能唯一确定一个有连续导数， 当 $x=0$ 时 $y=1$ 的隐函数 $y=f(x)$ ，函数的一阶和二阶导数为

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{F_x}{F_y}=-\frac{x}{y},\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=0, \\
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{y-x y^{\prime}}{y^2}=\frac{y-x\left(-\frac{x}{y}\right)}{y^2}=-\frac{1}{y^3},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=-1 .
\end{aligned}
$$

例 12 求由方程 $x y-\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y=0$ 所确定的隐函数 $y$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x},\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$.
解 令 $F(x, y)=x y-\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^y$, 则

$$
\begin{aligned}
& F_x=y-\mathrm{e}^x, F_y=x+\mathrm{e}^y, \\
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}=\frac{\mathrm{e}^x-y}{x+\mathrm{e}^y},
\end{aligned}
$$

由原方程知 $x=0$ 时， $y=0$, 所以
例 13 求由方程 $x-y-\mathrm{e}^y=0$ 确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
解 取 $F(x, y)=x-y-\mathrm{e}^y$ ，由 $F_x=1 ， F_y=-1-\mathrm{e}^x \neq 0$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{1}{-1-\mathrm{e}^y}=\frac{1}{1+\mathrm{e}^y}, \\
& --=--=--=-\left(\mathrm{d}^2 y\right. \\
& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x^2}=\frac{1}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{1}{1+\mathrm{e}^y}\right)=-\frac{\mathrm{e}^y y^{\prime}}{\left(1+\mathrm{e}^y\right)^2}=-\frac{\mathrm{e}^y}{\left(1+\mathrm{e}^y\right)^3} .
\end{aligned}
$$

例 13 求由方程 $x-y-\mathrm{e}^y=0$ 确定的隐函数的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
注 本题也可用上册的方法解.
在方程 $x-y-\mathrm{e}^y=0$ 两端关于 $x$ 求导:
$1-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\mathrm{e}^y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ ，
整理得 $\quad \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{1+\mathrm{e}^y}$ ，
再在 $\left({ }^*\right)$ 两端关于 $x$ 求导: $-\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-\mathrm{e}^y\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^2-\mathrm{e}^y \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=0$ ，得

$$
\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=-\frac{\mathrm{e}^y}{\left(1+\mathrm{e}^y\right)^2} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{\mathrm{e}^y}{\left(1+\mathrm{e}^y\right)^3}
$$

隐函数存在定理可以推广到三元以及三元以上的方程的情形.
定理 5 (隐函数存在定理 2)设函数 $F(x, y, z)$ 在点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的某一邻域内有 连续的偏导数， 且

$$
F\left(x_0, y_0, z_0\right)=0, \quad F_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \neq 0,
$$

则方程 $F(x, y, z)=0$ 在点 $P\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有 连续偏导数的函数 $z=f(x, y)$ ，它满足条件 $z_0=f\left(x_0, y_0\right)$ ，并有

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} .
$$

我们同样只给出定理的推导过程.
将 $z=f(x, y)$ 代入方程 $F(x, y, z)=0$ ，得恒等式

$$
F(x, y, f(x, y)) \equiv 0
$$

等式右端是 $x, y$ 的复合函数，恒等式两边分别对 $x, y$ 求偏导数，由链式法则得

$$
F_x+F_z \frac{\partial z}{\partial x}=0, \quad F_y+F_z \frac{\partial z}{\partial y}=0 .
$$

于是有 $\quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$.
这就是隐函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数公式.
例 14 求由方程 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 所确定的隐函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
解 设 $F(x, y, z)=\frac{x}{z}-\ln \frac{z}{y}$, 则 $F(x, y, z)=0$, 且

$$
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{1}{z}, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=-\frac{y}{z}\left(-\frac{z}{y^2}\right)=\frac{1}{y}, \frac{\partial F}{\partial z}=-\frac{x}{z^2}-\frac{y}{z} \cdot \frac{1}{y}=-\frac{x+z}{z^2} .
$$

利用隐函数求导公式，得

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{z}{x+z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{z^2}{y(x+z)} .
$$

例 14 求由方程 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 所确定的隐函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.

$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z}{x+z}\right)=\frac{z_y(x+z)-z \cdot z_y}{(x+z)^2}=\frac{x \cdot z_y}{(x+z)^2}=\frac{x z^2}{y(x+z)^3} \text {, }
$$

其中 $z=z(x, y)$ 由方程 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 确定.
注 本例也可以用其他方法求得两个一阶偏导数，例如:
在 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 两端关于 $x$ 求导，得 $\quad \frac{z-x z_x}{z^2}=\frac{z_x}{z}$
例 14 求由方程 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 所确定的隐函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
整理得 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{x+z}$ ； 在 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 两端关于 $y$ 求导，得 $\frac{-x y z}{z^2}=\frac{z y}{z}-\frac{1}{y}$ ，整理得 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z^2}{y(x+z)^2}$
或者在 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ 两端微分，得 $\frac{z \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} z}{z^2}=\frac{\mathrm{d} z}{z}-\frac{\mathrm{d} y}{y}$ ，
整理得 $d z=\frac{z}{x+z} d x+\frac{z^2}{y(x+z)} d y$ ，故 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{z}{x+z} ， \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z^2}{y(x+z)^2}$.

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