梯度

日期: 2022-12-31 10:28 查看: 56 次

方向导数反映了函数沿某射线方向的变化率. 一般说来，一个二元函数在给 定点处沿不同方向的方向导数是不一样的. 在许多实际问题中需要讨论: 函数沿 哪个方向的方向导数为最大? 为此，我们引进下面的梯度概念.
定义 设 $z=f(x, y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $(x, y) \in D ，\left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)$ 称为 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的梯度，记作 $\operatorname{grad} z$ ，即 $\operatorname{grad} z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right)$
若记 $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right)$ ，则 $\boldsymbol{g r a d} z=\nabla_z$.

由方向导数的公式，若 $z=f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数，则

$$
\frac{\partial z}{\partial l}=\frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial z}{\partial y} \cos \beta=\left(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\right) \cdot(\cos \alpha, \cos \beta)=\operatorname{grad} z \cdot \overrightarrow{\mathrm{e}} \bar{i}=|\operatorname{grad} z| \cos \theta
$$

其中 $e_l=(\cos \alpha, \cos \beta) ， \theta=\left(\widehat{\operatorname{grad} z}, \boldsymbol{e}_l\right)$ ，且 $\frac{\partial z}{\partial l} \operatorname{lax}=|\operatorname{grad} z|$
由此可知，函数在一点的梯度是这样一个向量，它的的方向是函数在这点的 方向导数取得最大值的方向，且最大值等于梯度的模.
例 22 求 $\operatorname{grad} \frac{1}{x^2+y^2}$
解 这里 $f(x, y)=\frac{1}{x^2+y^2}$.
因为 $\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2}, \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2 y}{\left(x^2+y^2\right)^2}$,
所以 $\operatorname{grad} \frac{1}{x^2+y^2}=-\frac{2 x}{\left(x^2+y^2\right)^2} \vec{i}-\frac{2 y}{\left(x^2+y^2\right)^2} \vec{j}$.
例 23 设 $z=f(x, y)=x \mathrm{e}^y$
(1) 求出 $f$ 在点 $P(2,0)$ 处沿从 $P$ 到 $Q\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 方向的变化率
(2) $f$ 在点 $P(2,0)$ 处沿什么方向具有最大的增长率，最大增长率为多少?
解 (1) 设 $\boldsymbol{e}_l$ 是与 $\overrightarrow{P Q}$ 同方向的单位向量，则 $\boldsymbol{e}_l=\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$, 又

$$
\nabla f(x, y)=\left(\mathrm{e}^y, x \mathrm{e}^y\right)
$$

所以 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(2,0)}=\nabla f(2,0) \cdot \boldsymbol{e}_l=(1,2) \cdot\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)=1$
(2) $f$ 在点 $P(2,0)$ 处沿 $\nabla f(2,0)=(1,2)$ 方向具有最大的增长率，最大增长率 为 $|\nabla f(2,0)|=\sqrt{5}$
梯度的概念可以自然地推广到 $n$ 元函数，以三元函数为例，设 $u=f(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，则梯度为

$$
\begin{gathered}
\operatorname{grad} u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right), \\
\frac{\partial u}{\partial l}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right) \cdot(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \\
=\operatorname{grad} z \cdot \boldsymbol{e}_l=|\operatorname{grad} z| \cos \theta \text { ，其中 } \boldsymbol{e}_l=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma), \theta=\left(\overline{\operatorname{grad} u}, e_l\right) .
\end{gathered}
$$

例 24 求函数 $f(x, y, z)=(x-1)^2+2(y+1)^2+3(z-2)^2-6$ 在点 $(2,0,1)$ 处沿向 量 $(1,-2,-2)$ 方向的方向导数.

$$
\begin{gathered}
\text { 解 } \operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2(x-1), 4(y+1), 6(z-2)) \text { ， } \\
\operatorname{grad} f(2,0,1)=(2,4,-6) ， \\
\boldsymbol{e}_l=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right) ，
\end{gathered}
$$

因此 $\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(2,0,1)}=\operatorname{grad} z \cdot \boldsymbol{e}_l=(2,4,-6) \cdot\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}\right)=2$.

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