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对坐标的曲面积分例子
日期:
2023-01-01 14:12
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例 9 计算 $\iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq R)$ 的下侧. 解 锥面在 $x O y$ 面上的投影区域为 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq R^2\right\}$ ， (见图 7-75) 则 $$ \begin{aligned} & \iint_{\Sigma} x^2 y^2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{D_y} x^2 y^2 \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ & =-\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^R r^6 \cos ^2 \theta \sin ^2 \theta \mathrm{d} r=-\frac{\pi}{28} R^7 ; \end{aligned} $$  例 10 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 外侧在 $x \geq 0, y \geq 0$ 的部分. 解 把 $\Sigma$ 分成 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 两部分 (见图 7-76)，这里 $\Sigma_1$ 的方程为 $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$, 取下侧; $\Sigma_2$ 的方程为 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$, 取上侧. $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 在 $x O y$ 面上的投影区域都是 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\}$,  例 10 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 外侧在 $x \geq 0, y \geq 0$ 的部分. $\Sigma_1$ 和 $\Sigma_2$ 在 $x O y$ 面上的投影区域都是 $$ D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0, y \geq 0\right\}, $$ 于是由积分的曲面可加性可知 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma_1} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+\iint_{\Sigma_2} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $$ =\iint_{D_{y y}} x y \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y-\iint_{D_{x y}} x y\left(-\sqrt{1-x^2-y^2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{D_{x y}} x y \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 这个二重积分可以利用极坐标计算， $2 \iint_{D_{y y}} x y \sqrt{1-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $$ =2 \iint_{D_{x y}} r^2 \sin \theta \cos \theta \sqrt{1-r^2} r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 \theta \mathrm{d} \theta \int_0^1 r^3 \sqrt{1-r^2} \mathrm{~d} r=\frac{2}{15} . $$ 例 11 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为由平面 $x=0$ 、 $y=0 、 z=0$ 及 $x+y+z=1$ 所围四面体的外侧. 解 记 $O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)$. 把有向曲面 $\Sigma$ 分为以下 $\Sigma_1(O A B), \Sigma_2(O B C), \Sigma_3(O A C), \Sigma_4(A B C) 4$ 个部分 (见图 7-77)，则有 $$ \begin{aligned} & \iint_{\Sigma}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & \quad=\iint_{O A B}+\iint_{O B C}+\iint_{O C A}+\iint_{A B C}((x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y) \end{aligned} $$  在 $\Sigma_1(O A B)$ 上，曲面方程为 $z=0(0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x)$ ，曲面取下侧，且 在 $y O z$ 和 $x O z$ 面投影为零，在 $x O y$ 面投影区域为 $D_{x y}=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x\}$ ， 故 $\quad \iint_{O A B}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{O A B} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $$ =-\iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{2}, $$ 在 $\sum_2(O B C)$ 上，曲面方程为 $x=0(0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1-y)$ ，曲面取后侧，且在 $x O z$ 和 $x O y$ 面投影为零，在 $y O z$ 面投影区域为 $D_{y z}=\{(y, z) \mid 0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1-y\}$ ， 故 $$ \iint_{O B C}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{O B C}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{D_x}(0+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z=-\frac{1}{2} $$ 在 $\Sigma_3(O C A)$ 上，曲面方程为 $y=0(0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1-x)$ ，曲面取左侧，且在 $y O z$ 和 $x O y$ 面投影为零，在 $x O z$ 面投影区域为 $D_{x z}=\{(x, z) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1-x\}$ ， 故 $$ \iint_{O C A}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{O C} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=0 $$ 在 $\Sigma_4(O A B)$ 上，计算 $\iint_{A B C} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则曲面方程为 $$ z=1-x-y(0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x), $$ 曲面取上侧，且在 $x O y$ 面投影区域为 $$ D_{x y}=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x\} \text {, } $$ 例 11 计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为由平面 $x=0$ 、 $y=0 、 z=0$ 及 $x+y+z=1$ 所围四面体的外侧. 计算 $\iint_{A B C} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，则曲面方程为 $y=1-x-z(0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1-x)$ ， 曲面取右侧，且在 $x O z$ 面投影区域为 $$ D_{x z}=\{(x, z) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1-x\}, $$ 计算 $\iint_{A B C}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ，则曲面方程为 $x=1-y-z(0 \leq y \leq 1,0 \leq z \leq 1-y)$ ， 曲面取前侧，且在 $y O z$ 面投影区域为 $$ D_{x z}=\{(x, z) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 1-x\} \text {, } $$ $$ \begin{aligned} & \text { 故 } \iint_{A B C}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{A B C}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{A B C} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\iint_{A B C} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ & \quad=\iint_{D_{y z}}(1-y-z+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\iint_{D_{z x}}(1-x-z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ & \quad=\int_0^1 \mathrm{~d} y \int_0^{1-y}(1-y-z+1) \mathrm{d} z+\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{1-x}(1-x-z) \mathrm{d} z+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \text {, } \\ & \text { 因此 } f \int_{\Sigma}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{1}{3} . \end{aligned} $$
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