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向量的概念及运算
日期:
2023-01-02 11:36
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n维向量的定义 定义1 由 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成的有序数组称为 $n$ 维向量. 若 $n$ 维向量写成 $\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的形式，称为 $n$ 维列向量； 若 $n$ 维向量写成 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的形式，称为 $n$ 维行向量. 这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，其中 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量. 我们常用 $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ 来表示 $n$ 维列向量，而用 $\alpha^{\top}, \beta^{\top}, \gamma^{\top}, \ldots$ 来表示 $n$ 维行向量. 当 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是复数时， $n$ 维向量称为 $n$ 维复向量， 当 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是实数时， $n$ 维向量称为 $n$ 维实向量. 今后我们所讨论的向量都是实向量. 分量都是零的向量称为零向量，记为 0 ，即 $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$ 或 $\boldsymbol{0}=(0,0, \cdots, 0)$. 向量 $\left(\begin{array}{c}-a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n\end{array}\right)$ 称为向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的负向量，记为 $-\boldsymbol{\alpha}$. 2. 向量的运算 设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right), \boldsymbol{k} \in \mathbf{R}$ ，则有 $$ \text { (1) } \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{array}\right) \text {; } $$ $$ \text { (2) } k \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c} k a_1 \\ k a_2 \\ \vdots \\ k a_n \end{array}\right) \text {; } $$ $$ \text { (3) } \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)\left(\begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{array}\right)=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n $$ $$ (4) \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)=\left(\begin{array}{cccc} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n \end{array}\right) . $$ 例1， 设有线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m \end{array}\right. $$ 将第 $i$ 个末知量 $x_i$ 的系数写成一个 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_i=\left(\begin{array}{c}a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{m i}\end{array}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ， 常数写成一个 $m$ 维列向量 $\beta=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{array}\right)$ ，则该方程组也可用向量的形式来表达: $$ x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\boldsymbol{\beta} $$ 定义 2 由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组. 例如，例 1 中末知量的系数构成的 $m$ 维列向量 $$ \boldsymbol{\alpha}_i=\left(\begin{array}{c} a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{m i} \end{array}\right)(i=1,2, \cdots, n) \text { 的全体构成一个向量组. } $$ 例2 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)$, 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分块如下: $$ \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}} \end{array}\right), $$ 其中 $\quad \boldsymbol{\alpha}_j=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{n j}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, n), \quad \boldsymbol{\beta}_i^{\mathrm{T}}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, m)$.
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