角度制，弧度制

日期: 2023-11-05 20:28 查看: 62 次更新导出Word

一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．射线的旋转有
两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向．

习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为**正角**；按照顺时针方向旋转而成的角称为**负角**；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为**零角**．

这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角． 值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转的绝对量可以是任意的．

因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、零角．也就是说，角的大小是任意的．

由此，我们把角的概念推广到了任意角． 作图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．

## 角度的定义

度是平面角的单位，符号为°，英文为 degree 。一周角分为360等份，每份定义为1度（1°）。之所以采用360°这数值，是因为它容易被整除。360除了1和自己，还有21个真因子， 所以很多特殊的角的角度都是整数。

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## 弧度

在科学计算中经常使用弧度作为平面角的单位，弧度记做 rad 。把长度等于半径长的所对的圆心角叫做1弧度。根据弧度定义可以得到圆一周的弧度为:

$\dfrac{\text{圆周长}}{\text{半径}}= \dfrac{2\pi r}{r} =2\pi $

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事实上, 设 $\alpha=n^{\circ}$, 弧 $A B$ 的长为 $l$, 半径 $O A=r$, 则 $l=\frac{n}{360} \cdot 2 \pi r$,因此

$$
\frac{l}{r}=n \cdot \frac{2 \pi}{360} .
$$

这个等式右端不包含半径, 这表示弧长比半径的值不依赖于半径, 而只与 $\alpha$的大小有关. 我们称弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 因此,长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为 1 弧度的角,记作 $1 \mathrm{rad}$. 如图 7-1-9 所示, 因为 $\overparen{A B}$ 的长等于半径 $r$, 所以 $\overparen{A B}$ 所对的圆心角 $\angle A O B$ 就是 1 弧度的角.

由弧度制的定义可知, 在半径为 $r$ 的圆中, 若弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$, 则

$$
\alpha=\frac{l}{r} \text {. }
$$

## 角度和弧度换算

根据角度和弧度的定义，很容易得出角度和弧度的换算关系。因为圆的一周是 $360 \degree $ ，
而采用弧度是 $  2\pi  $ rad    所以有</p>
$ 360 \degree  = 2 \pi $ rad
意即：

$ 1 \degree  = \dfrac{\pi}{180}  rad   \approx 0.01745 rad  $
或者说  $ 1 rad= (\dfrac{180}{\pi}) \degree   \approx 57.30 \degree  $

一般的，我们只要简记： $ 180 \degree  =  \pi  $  弧度就可以了，使用时，进行转换。

## 角度的正负

我们定义角度沿着逆时针方向旋转为正，沿着逆时针方向旋转为负。如果逆时针旋转$ \theta$ 大小会有一条终边，那么通过旋转得到的角的大小就是$ \theta $ ；如果顺时针旋转$ \theta $ 大小，那么这个角就是$ - \theta $

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