二项分布与超几何分布

日期: 2023-11-05 22:14 查看: 37 次更新导出Word

我们已经知道, 一个伯努利试验是试验结果可记为 “成功” 与 “不成功” 的试验. 现实生活中, 经常需要在相同的条件下将一个伯努利试验重复多次. 例如, 为了观察抛硬币时出现的统计规律性, 可多次重复进行抛硬币这个伯努利试验; 为了了解支持改革的人的比例, 可随机向多人进行访问,询问他们的态度是 “支持” 还是 “不支持”; 等等. 在相同条件下重复 $n$ 次伯努利试验时, 人们总是约定这 $n$ 次试验是相互独立的, 此时这 $n$ 次伯努利试验也常称为 $n$ 次独立重复试验.

例如, 对一批产品进行抽样检查, 每次取一件来判断是否合格, 有放回地抽取 5 次, 就是一个 5 次独立重复试验; 篮球运动员练习投篮 10 次, 可以认为每次投中的概率都相同, 这是一个 10 次独立重复试验.
在 $n$ 次独立重复试验中, 人们经常关心的是 “成功” 出现的次数.

已知某种药物对某种疾病的治愈率为 $\frac{3}{4}$, 现有甲、乙、丙、丁 4 个患有该病的患者服用了这种药物, 观察其中有多少患者会被这种药物治愈.
(1) 这能否看成独立重复试验?
（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率;
（3）求出恰有 3 个患者被治愈的概率;
(4) 设有 $X$ 人被治愈, 求 $X$ 的分布列.

不难想到, 4 个患者是否会被治愈是相互独立的, 因此尝试与发现中的情形可以看成 4 次独立重复试验.

如果用 $A_1, A_2, A_3, A_4$ 分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈, 则不难看出

$$
P\left(A_i\right)=\frac{3}{4}, P\left(\bar{A}_i\right)=1-P\left(A_i\right)=\frac{1}{4}, i=1,2,3,4 .
$$

此时, 甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为 $A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4$, 因此由独立性可知

$$
\begin{aligned}
P\left(A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4\right) & =P\left(A_1\right) P\left(A_2\right) P\left(A_3\right) P\left(\bar{A}_4\right) \\
& =\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{27}{256} .
\end{aligned}
$$

注意到恰有 3 个患者被治愈的情况共有 $\mathrm{C}_4^3$ 种 (4 个人中, 选出 3 个是被治愈的, 剩下的那个是没被治愈的), 即

$$
\bar{A}_1 A_2 A_3 A_4, A_1 \bar{A}_2 A_3 A_4, A_1 A_2 \bar{A}_3 A_4, A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4,
$$

这四种情况两两都是互斥的, 而且每一种情况的概率均为 $\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \frac{1}{4}=\frac{27}{256}$,因此所求概率为

$$
\begin{aligned}
& P\left(\bar{A}_1 A_2 A_3 A_4+A_1 \bar{A}_2 A_3 A_4+A_1 A_2 \bar{A}_3 A_4+A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4\right) \\
= & P\left(\bar{A}_1 A_2 A_3 A_4\right)+P\left(A_1 \bar{A}_2 A_3 A_4\right)+P\left(A_1 A_2 \bar{A}_3 A_4\right)+P\left(A_1 A_2 A_3 \bar{A}_4\right) \\
= & \mathrm{C}_4^3 \times\left(\frac{3}{4}\right)^3 \times \frac{1}{4}=\frac{27}{64} .
\end{aligned}
$$

因为共有 4 名患者服用了药物, 所以 $X$ 的取值范围应该是

$$
\{0,1,2,3,4\} \text {, }
$$

$$
\begin{aligned}
& P(X=0)=\mathrm{C}_4^0 \times\left(\frac{3}{4}\right)^0 \times\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}, \\
& P(X=1)=\mathrm{C}_4^1 \times \frac{3}{4} \times\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{3}{64}, \\
 
\end{aligned}
$$

因此 $X$ 的分布列为
![图片](/uploads/2023-11/image_2023110556e800a.png)

一般地, 如果一次伯努利试验中, 出现 “成功” 的概率为 $p$, 记 $q=$ $1-p$, 且 $n$ 次独立重复试验中出现 “成功” 的次数为 $X$, 则 $X$ 的取值范围是

$$
\{0,1, \cdots, k, \cdots, n\},
$$

而且

$$
P(X=k)=\mathrm{C}_n^k p^k q^{n-k}, k=0,1, \cdots, n,
$$

因此 $X$ 的分布列如下表所示.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231105696e404.png)
注意到上述 $X$ 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式

$$
(q+p)^n=\mathrm{C}_n^0 p^0 q^n+\mathrm{C}_n^1 p^1 q^{n-1}+\cdots+\mathrm{C}_n^k p^k q^{n-k}+\cdots+\mathrm{C}_n^n p^n q^0
$$

中对应项的值, 因此称 $X$ 服从参数为 $n, p$ 的二项分布, 记作

$$
X \sim B(n, p) .
$$

一般地, 若有总数为 $N$ 件的甲、乙两类物品, 其中甲类有 $M$ 件 $(M<$ $N)$, 从所有物品中随机取出 $n$ 件 $(n \leqslant N)$, 则这 $n$ 件中所含甲类物品数 $X$是一个离散型随机变量, $X$ 能取不小于 $t$ 且不大于 $s$ 的所有自然数, 其中 $s$是 $M$ 与 $n$ 中的较小者, $t$ 在 $n$ 不大于乙类物品件数 (即 $n \leqslant N-M$ ) 时取 0 ,否则 $t$ 取 $n$ 减乙类物品件数之差 (即 $t=n-(N-M)$ ), 而且

$$
P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_M^k \mathrm{C}_{N-M}^{n-k}}{\mathrm{C}_N^n}, k=t, t+1, \cdots, s,
$$

这里的 $X$ 称为服从参数为 $N, n, M$ 的超几何分布, 记作

$$
X \sim H(N, n, M) .
$$

特别地, 如果 $X \sim H(N, n, M)$ 且 $n+M-N \leqslant 0$, 则 $X$ 能取所有不大于 $s$ 的自然数, 此时 $X$ 的分布列如下表所示.
 ![图片](/uploads/2023-11/image_202311056bdb8d7.png)

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