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二项式定理
二项式定理
日期:
2023-10-03 11:14
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在进入排列组合进阶篇之前，我们先介绍一个与组合数密切相关的定理——二项式定理。 二项式定理阐明了一个展开式的系数： $$ (a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^{n-i}b^i $$ 证明可以采用数学归纳法，利用 $\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k-1}=\dbinom{n+1}{k}$ 做归纳。 二项式定理也可以很容易扩展为多项式的形式： 设 $n$ 为正整数，$x_i$ 为实数， $$ (x_1 + x_2 + \cdots + x_t)^n = \sum_{满足 n_1 + \cdots + n_t=n 的非负整数解} \binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_t} x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t} $$ 其中的 $\dbinom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_t}$ 是多项式系数，它的性质也很相似： $$ \sum{\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_t}} = t^n $$ 二次项定理也可以利用杨辉三角进行记忆，如下图，每行收尾项都是1，而中间项其值为上面两项之和。 
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