区间上的连续函数

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 97 次更新导出Word

若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ (或 $(-\infty,+\infty)$ )内处处连续(每一点处均连续)，则称 函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ (或 $(-\infty,+\infty)$ )内连续.
若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内连续，且在 $x=a$ 处右连续，在 $x=b$ 处左连 续，则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续.
连续函数 $y=f(x)$ 的图形是一条连续不断的曲线.

由于基本初等函数在其各自定义域内每点处的极限都存在，且等于该点处的函 数值，由连续函数的定义可知， 基本初等函数都是各自定义域内的连续函数. 设函数 $f(x)=P_n(x)$ 为 $n$ 阶多项式 $\left(P_n(x)=a_0 x^n+a_1 x^{x_1-1}+\cdots+a_n\right)$ ，由极限运算法 则可知， $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续， 即对， $\forall x_0 \in(-\infty,+\infty)$ ，

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} P_n(x)=P_n\left(x_0\right)=f\left(x_0\right) ，
$$

设 $F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$, 其中 $P(x) 、 Q(x)$ 为多项式，若 $Q\left(x_0\right) \neq Q$ 则有 $\lim _{x \rightarrow \infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P\left(x_0\right)}{Q\left(x_0\right)}=F\left(x_0\right)$, 即其在定义域内的每一点处都连续.
例如，设 $y=\sqrt{x}$ ，由 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sqrt{x}=\sqrt{x_0}\left(x_0>0\right)$ 及 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sqrt{x}=0$ ，可知其在 $[0,+\infty)$ 内连续.

为了进一步说明连续性的概念，再举一例.
例 2 证明 $y=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.
证明 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$ ，当 $x$ 有增量 $\Delta x$ 时，对应的函数增量是

$$
\Delta y=\sin (x+\Delta x)-\sin x=2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)
$$

由于 $\left|\cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \leq 1$,
因此 $\quad|\Delta y|=\left|2 \sin \frac{\Delta x}{2} \cos \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\right| \leq 2\left|\sin \frac{\Delta x}{2}\right| \leq 2 \cdot\left|\frac{\Delta x}{2}\right|=|\Delta x|$ ， 即 $0 \leq|\Delta y| \leq|\Delta x|$ ，
当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，由夹逼准则知 $|\Delta y| \rightarrow 0$ ，从而 $\Delta y \rightarrow 0$ ，
故 $y=\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.
同理可证 $y=\cos x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续.

上一篇：函数连续性

下一篇：函数的间断点

知识库是科数网倾心打造的大型数学知识网站，欢迎各位老师、数学爱好者加入,联系微信 18155261033，制作不易，也欢迎赞助本站。