曲率及其计算公式

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 42 次更新导出Word

现在研究如何描述曲线弧的弯曲程度.
从几何直观上容易看出，直线不弯曲，抛物线在顶点处弯曲最厉害，当抛物线上的点越远离顶点，弯曲程度越低（见图2-66）圆上各点的弯曲程度是相同的（见图2-67）半径越小，弯曲越厉害.

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如图2-68所示，在曲线 $L$ 上点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度（简称转 角) $\Delta \alpha$ 很小，但点从 $M_1$ 移动到 $M_2$ 时，切线转过的角度 (转角) $\Delta \alpha^{\prime}$ 很大. 但是单 用转角来衡量曲线的弯曲程度是不完全的. 如图2-69所示，当点从 $M$ 沿 $L_1$ 移动到 $M^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 与点从 $N$ 沿 $L_1$ 移动到 $N^{\prime}$ 时 (弧长为 $\Delta s$ ) 它们有相同的转角，但 显 然 $\overparen{M M}$ '比 $\overparen{N N}$ 的弯曲程度要小. 从图中也可看出，弯曲程度既与转角有关 （成正比）也与经过的弧长 $\Delta \alpha$ 有关（成反比）.

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定义 设曲线 $C: y=f(x)$ 是光滑的，在 $C$ 上任取 一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作为度量弧长的基点. 设曲线 $C$ 上点 $M(x, y)$ 对应弧 $S$ ，点 $M$ 处曲线的切线倾斜角为 $\alpha$. 点 $M^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 是 $C$ 上邻近 $M$ 的另一个点，对应 弧 $s+\Delta s$ ，点 $M^{\prime}$ 处曲线的倾斜角为 $\alpha+\Delta \alpha$ (见图2-70) 当动点由点 $M$ 沿 $C$ 移动到点 $M$ '时，切线转过的角度 为 $|\Delta \alpha|$ 比值 $\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|$ 称为弧段 $\overparen{M M^{\prime}}$ 的平均曲率，记作 $\bar{K}$ ， 即

$$
\bar{K}=\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| \text { (单位弧段上切线转角的大小) }
$$

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当 $M^{\prime} \rightarrow M$ 时， $\Delta s \rightarrow 0$ 将平均曲率取极限（若极限存在），称该极限值为曲 线 $C$ 在点 $M$ 处的曲率, 记作 $K$.

$$
K=\lim _{M^{\prime} \rightarrow M} \bar{K}=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|
$$

在 $\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{d} s}$ 存在的条件下， $K$ 可以表示为

$$
K=\left|\frac{\mathrm{d} \alpha}{\mathrm{ds}}\right|
$$

例 6 求直线上各点的曲率.
解 直线上各点处切线的倾斜角 0 是常量， $\Delta \alpha=0$ 因此

$$
K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right|=0
$$

这与我们直观认识到的 “直线没有弯曲" 一致.

例7 求半径为 $R$ 的圆上任意一点处的曲率.
解 在圆周上任意两点 $M 、 M^{\prime}$ '处圆的切线所夹角 $\Delta \alpha$ 等于中心角 $M A M^{\prime}$ (见图271），且 $\angle M A M^{\prime}=\frac{\Delta s}{R}$ ，因此 $\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}=\frac{\frac{\Delta s}{R}}{\Delta s}=\frac{1}{R}$ ，即 $K=\frac{1}{R}$
这表明圆上各点处的曲率都等于半径 $R$ 的倒 数 $\frac{1}{R}$ 这与我们直观认识到的 “圆的弯曲程度处处 一样（且弯曲程度与半径成反比）"一致.
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