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高等数学[教程类] Calculus（考研专区）
第五章 向量与空间解析几何
空间直线一般方程
空间直线一般方程
日期:
2023-10-01 11:28
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在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，从而得到轨迹方 程一一曲线方程的概念. 同样，在空间解析几何中，任何曲线都可以看作 满足一定几何条件的动点的轨迹，动点的轨迹用方程组来表示，就得到曲 线方程的概念. 空间直线是最简单的空间曲线. 在本节中我们将以向量为工具讨论 空间直线. 任一空间直线 $L$ 都可以看作是两个相交平面的交线 (见图 5-40). 若平面 $\Pi_1$ 的方程为 $A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0$ ， 平面 $\Pi_2$ 的方程为 $A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0$ ， 则方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0 \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 \end{array}\right. $$ 表示空间直线 $L$ 的方程，称为直线的一般方程.  例 1 (1) 求过点 $(-3,2,5)$ 且分别与两个平面 $2 x-y-5 z=1$ 和 $x-4 z=3$ 平行的 平面 $\Pi_1$ 与 $\Pi_2$ 的方程. 解 (1) 先求过点 $(-3,2,5)$ 且与已知平面平行的平面 平面 $\Pi_1$ 的法向量可取为 $n_1=(2,-1,5)$ ，故过点 $(-3,2,5)$ 以 $\boldsymbol{n}_1$ 为法向量的平面 方程为 $\Pi_1: 2(x+3)-(y-2)-5(z-5)=0$, 平面 $\Pi_2$ 的法向量可取为 $\boldsymbol{n}_2=(1,0,-4)$ ，故过点 $(-3,2,5)$ 以 $\boldsymbol{n}_2$ 为法向量的平面 方程为 $\Pi_2:(x+3)-4(z-5)=0$, 即 $\Pi_1: 2 x-y-5 z+33=0, \quad \Pi_2: x-4 z+23=0$. 解 (2) 所求直线的一般方程为 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x-y-5 z+33=0 \\ x-4 z+23=0 \end{array} .\right. $$
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