全微分

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 42 次更新导出Word

在实际问题中，经常遇到需考虑用 $\Delta x, \Delta y$ 的线性函数来代替全增量 $\Delta z$ 的问题 即多元函数的线性逼近.
对于二元函数 $z=f(x, y)$ ，它对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量 固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 相应地，我们可以定义二元函数的偏 增量和偏微分.

$$
\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \text { 和 } \Delta_y z=f(x, y+\Delta y)-f(x, y)
$$

分别称为二元函数对变量 $x$ 与 $y$ 的偏增量. 固定自变量 $y$ ，若 $\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y)=A \Delta x+o(\Delta x)$ ，当 $f_x^{\prime}(x, y)$ 存在时，则有 $A=f_x^{\prime}(x, y)$ ， $f_x^{\prime}(x, y) \Delta x$ 称为二元函数 $z=f(x, y)$ 关于 $x$ 的偏微分，同理，可以定义关于 $y$ 的 偏微分 $f_y^{\prime}(x, y) \Delta y$.

$$
\Delta_x z=f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \text { 和 } \Delta_y z=f(x, y+\Delta y)-f(x, y)
$$

$$
\begin{aligned}
& f(x+\Delta x, y)-f(x, y) \approx f_x(x, y) \Delta x, \\
& f(x, y+\Delta y)-f(x, y) \approx f_y(x, y) \Delta y .
\end{aligned}
$$

在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所 获得的增量，即所谓全增量的问题. 下面我们看一个具体的问题.
设矩形的长和宽分别为 $x$ 和 $y$ ，则此矩形的面积 $S=x y$. 若边长 $x$ 有增量 $\Delta x$ ， 边长 $y$ 有增量 $\Delta y$ 时 (见图 6-10)
则面积 $S$ 的相应的增量为

$$
\Delta S=(x+\Delta x)(y+\Delta y)-x y=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .

![图片](/uploads/2022-12/image_2022123133999f8.png)

$$
\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+\Delta x \cdot \Delta y .
$$

可见， $\Delta S$ 包含两部分: 第一部分是 $y \Delta x+x \Delta y$ ，它是关于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的一次式； 第二部分是 $\Delta x \cdot \Delta y$ ，它是关于 $\rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ 的高阶无穷小，即

$$
0 \leq \frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\rho}=\frac{|\Delta x \cdot \Delta y|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} \leq \frac{1}{2} \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \rightarrow 0 .
$$

于是 $\Delta S=y \Delta x+x \Delta y+o(\rho)$.
一般地，如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的某邻域内有定义，并设 $P^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 为这邻域内的任意一点，则称

$$
f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)
$$

为函数在点 $P$ 对应于自变量增量 $\Delta x, \Delta y$ 的全增量，记为 $\Delta z$ ，即

$$
\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y) .
$$

一般来说，计算全增量比较复杂. 与一元函数的情形类似，我们也希望利用 关于自变量增量 $\Delta x, \Delta y$ 的线性函数来近似地代替函数的全增量 $\Delta z$ ，由此引入关于 二元函数全微分的定义.
定义 2 如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全增量
可以表示为 $\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)$,
其中 $A, B$ 不依赖于 $\Delta x, \Delta y$ 而仅与 $x, y$ 有关， $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$,
则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 可微分， $A \Delta x+B \Delta y$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的全微分，记为 $\mathrm{d} z$ ，即 $\mathrm{d} z=A \Delta x+B \Delta y$.
若函数在区域 $D$ 内各点处可微分，则称这函数在 $D$ 内可微分.
由全微分的定义可知，矩形面积 $S=x y$ 在 $(x, y)$ 处的全微分 $\mathrm{d} S=y \Delta x+x \Delta y$.
在学习一元函数的微分时，我们得到这样的结论:
如果函数在某一点可微，则在该点处必连续，且在该点处可导. 对二元函数也有类似的性质，即有 定理 2 (必要条件) 如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分，则
(1) 该函数在点 $(x, y)$ 连续;
(2) 该函数的两个的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 都存在，且 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的全 微分

$$
\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y .
$$

定理 2 (必要条件) 可微分 $=>$ 连续
证 (1) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分，则有

$$
\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho),
$$

于是

$$
\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \Delta z=0,
$$

即

$$
\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} f(x+\Delta x, y+\Delta y)=f(x, y) ，
$$

因此函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处连续.
定理 2 (必要条件) 可微分 $=>$ 偏导数存在
(2) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微分，则有

$$
f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho) .
$$

在上式中令 $\Delta y=0$ ，即 $f(x+\Delta x, y)-f(x, y)=A \Delta x+o(|\Delta x|)$.
两边同除以 $\Delta x$ ，再令 $\Delta x \rightarrow 0$ ，于是有

$$
\begin{aligned}
& \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x}=A+\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}=A . \\
& \text { 所以 } \frac{\partial z}{\partial x} \text { 存在，且 } \frac{\partial z}{\partial x}=A .
\end{aligned}
$$

同理可证 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，且 $\frac{\partial z}{\partial y}=B$. 因此 $\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y$.
定理 2 (必要条件) 偏导数存在 $\neq>$ 可微分
但是，两个偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 存在，并不能保证函数 $z=f(x, y)$ 在 $(x, y)$ 处可微. 例如，在前面我们已经求得，函数

$$
\quad f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

在 $(0,0)$ 处的两个偏导数 $f_x(0,0)$ 和 $f_y(0,0)$ 存在，而它在点 $(0,0)$ 处不连续，所以在 点 $(0,0)$ 处不可微.
我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但多元函数 则不然.二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.
由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微. 因为函数的偏导 数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的 变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我 们有
定理 3 (充分条件) 如果函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 存在且连 续，则函数在该点处可微分.
证明从略.

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