多元函数复合求导

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 35 次更新导出Word

设 $u=\varphi(x)$ 在点 $x$ 可导，而 $y=f(u)$ 在对应点 $u$ 处可导，则 复合函数 $y=f[\varphi(x)]$ 在点 $x$ 处可导，且有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$. 这就是 一元函数的复合求导的 “链式法则"，函数之间的关系可以用 这样的结构图来表示: $y \rightarrow u \rightarrow x$.
这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 由于多元函数 的构成比较复杂，所以一元函数的 “链式图" 就变成了多元函数 的 "树图" .
例如， $u=f(x, y, z)$ 用结构图来表示就是
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231ed93961.png)
而 $z=f(x, y)$ 与 $y=\varphi(x)$ 复合而成的函数 $z=f(x, \varphi(x))$ 的结构图为

![图片](/uploads/2022-12/image_202212312aa931a.png)
1, 复合函数的中间变量为一元函数的情形
定理 1 设 $u=u(t), v=v(t)$ 均在 $t$ 处可导，函数 $z=f(u, v)$ 在对应点 $(u, v)$ 处有 连续的偏导数，则它们构成的复合函数 $z=f[u(t), v(t)]$ 在 $t$ 处可导， 且有导数公式

$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} .
$$

公式 (1) 中的导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 称为全导数.
对于此定理我们不予证明，只用结构图来做一下说明.
公式 (1) 的右边是偏导数与导数乘积的和式，它与函数自身的结构有密切 的关系.
$z$ 是 $u, v$ 的二元函数，而 $u$ 和 $v$ 都是 $t$ 的一元函数，我们用函数的结构图来表 示，就是
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231d62ed32.png)
从结构图中可以看出， $z$ 通过中间变量 $u$ 和 $v$ 到达 $t$ 有两条路径，而公式 (1) 右侧恰好有两式相加，而每条路径上都是两项的乘积，是对应的函数的偏导数和 导数的乘积.
这种方法可以推广到三元函数的情形， 例如，设 $u=u(t), v=v(t), w=w(t)$ 均在 $t$ 处可导， $z=f(u, v, w)$ 在对应点处具有连续的导数，求复合函数 $z=f[u(t), v(t), w(t)]$ 的全导数.
函数的结构图是
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231f81383e.png)

从函数的结构图中可以看出，由 $z$ 经中间变量 $u, v, w$ 到达 $t$ 有三条路径，因此 公式中应该是三项之和，所以它的全导数为

$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial w} \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} t} .
$$

例 1 设 $z=u v$ ，而 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$, 求导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$.
解 由公式 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}$. 知

$$
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}=\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=v \mathrm{e}^t-u \sin t=\mathrm{e}^t(\cos t-\sin t) .
$$

注 我们也可以把 $u=\mathrm{e}^t, v=\cos t$ 表达式代入到 $z=u v$ 中，即 $z=\mathrm{e}^t \cos t$ ，然后 直接求一元函数的导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$.

例 2 设 $z=\ln (u+v)+\mathrm{e}^t$ ，而 $u=2 t, v=t^2$, 求导数 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$.
解 函数的结构图为
![图片](/uploads/2022-12/image_20221231a4f0d6a.png)

因此

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}+\frac{\partial z}{\partial t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{u+v} \cdot 2+\frac{1}{u+v} \cdot 2 t+\mathrm{e}^t \\
& =\frac{1}{2 t+t^2} \cdot 2+\frac{1}{2 t+t^2} \cdot 2 t+\mathrm{e}^t=\frac{2+2 t}{2 t+t^2}+\mathrm{e}^t .
\end{aligned}
$$

注 解中的 $\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 的含义是不一样的.
$\frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} t}$ 表示复合以后的一元函数 $z=f[u(t), v(t), w(t)]$ 对 $t$ 的全导数，而 $\frac{\partial z}{\partial t}$ 表示复 合前的三元函数 $z=\ln (u+v)+\mathrm{e}^t$ 对第三个自变量 $t$ 的偏导数.

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