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高等数学[教程类] Calculus（考研专区）
第七章 多元函数积分学
极坐标系下二重积分的计算
极坐标系下二重积分的计算
日期:
2023-10-01 11:28
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在有些情况下利用极坐标计算二重积分比较方便，比如，当积分区域 $D$ 是圆 环形域、扇形域，即 $D$ 的边界曲线用极坐标表示时比较简洁； 或被积函数 $f(x, y)$ 用极坐标表示时比较简洁，比 如 $f\left(\sqrt{x^2+y^2}, \arctan \frac{y}{x}\right)$ 可考虑利用极坐标系计算二重积分. 直角坐标系与极坐标系的转换公式为 $\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta=\arctan \frac{y}{x}\end{array}\right.$. 下面我们介绍极坐标下的二重积分的计算方法. 在直角坐标系下，面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 可以写成 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，那么在极坐标系下，面积微 元怎么表示呢? 在极坐标系下，设过极点 $O$ 的射线与平面闭区域 $D$ 的边界曲线最 多相交于两点(图 7-21).  由极坐标的定义可知，若极径 $r=c, c$ 是一个常数，则表示圆心在极点，半径 为 $c$ 的一个圆; 若极角 $\theta=c, c$ 是一个常数，则表示一个从极点出发的射线. 现以极 点为中心作一组同心圆: $r=r_i$ ，从极点出发作一组射线: $\theta=\theta_i$ ， 将区域 $D$ 分成 $n$ 个小闭区域， 这些区域的面积记为 $\Delta \sigma_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，除了包 含边界点的一些小区域外， $\Delta \sigma_i$ 的面积都可以看作是两个圆扇形的面积之差. 因 此 $$ \Delta \sigma_i=\frac{1}{2}\left(r_i+\Delta r_i\right)^2 \Delta \theta_i-\frac{1}{2} r_i^2 \Delta \theta_i=r_i \Delta r_i \Delta \theta_i+\frac{1}{2}\left(\Delta r_i\right)^2 \Delta \theta_i \approx r_i \Delta r_i \Delta \theta_i . $$ 于是就得到了极坐标系下的面积微元 $\quad \mathrm{d} \sigma=r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ 若已知直角坐标系下的二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，则用以下方法把其变换为极 坐标系下的二重积分: （1） 将积分区域 $D$ 的边界曲线用极坐标方程表示; (2) 利用变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ 将被积函数 $f(x, y)$ 转化成 $r, \theta$ 的函数: $$ f(x, y)=f(r \cos \theta, r \sin \theta) $$ (3) 将面积微元 $\mathrm{d} \sigma$ 转化为极坐标下的面积微元 $r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$. 则二重积分的极坐标系下的表达式为 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$. 极坐标系下的二重积分，同样是转化为二次积分来计算，我们分三种情况来讨论: (1) 如果积分区域 $D$ 介于两条射线 $\theta=\alpha, \theta=\beta$ 之间，而对 $D$ 内任一点 $(r, \theta)$ 其极径总是介于曲线 $r=r_1(\theta), r=r_2(\theta)$ 之间（图 7-22）， 则区域 $D$ 的积分限为 $\alpha \leq \theta \leq \beta, \quad r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)$.  (1) 如果积分区域 $D$ 介于两条射线 $\theta=\alpha, \theta=\beta$ 之间，而对 $D$ 内任一点 $(r, \theta)$ 其极径总是介于曲线 $r=r_1(\theta), r=r_2(\theta)$ 之间 (图 7-22)，则区域 $D$ 的积分限为 $\alpha \leq \theta \leq \beta, \quad r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)$. 于是 $$ \begin{aligned} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \\ & =\int_\alpha^\beta \mathrm{d} \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r . \end{aligned} $$ 具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定: 从极点出发在区间 $(\alpha, \beta)$ 上任意作一条极角为 $\theta$ 的射线穿透区域 $D$ (图 7-22)，则进入点与穿出点 的极径 $r_1(\theta), r_2(\theta)$ 就分别为内层积分的下限与上限. 极坐标系下的二重积分, 同样是转化为二次积分来计算, 我们分三种情况来讨论: (2) 如果积分区域 $D$ 是如图 7-23 所示的曲边扇形，则可以把它看作是 第一种情形中当 $r_1(\theta)=0, r_2(\theta)=r(\theta)$ 的特例，此时，区域 $D$ 的积分限为 $$ \alpha \leq \theta \leq \beta, \quad 0 \leq r \leq r(\theta) . $$ 于是 $$ \begin{aligned} & \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & =\int_\alpha^\beta \mathrm{d} \theta \int_0^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r . \end{aligned} $$  极坐标系下的二重积分，同样是转化为二次积分来计算，我们分三种情况来讨论: (3) 如果积分区域 $D$ 如图 7-24 所示，极点位于 $D$ 的内部，则可以把它看作 是第二种情形中当 $\alpha=0, \beta=2 \pi$ 的特例，此时，区域 $D$ 的积分限为 $$ 0 \leq \theta \leq 2 \pi, \quad 0 \leq r \leq r(\theta) $$ 于是 $$ \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^{r(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r . $$  极坐标系下的二重积分，同样是转化为二次积分来计算，我们分三种情况来讨论: 注 根据二重积分的性质 4 ，闭区域 $D$ 的面积 $\sigma$ 在极坐标系下可表示为 $$ \sigma=\iint_D \mathrm{~d} \sigma=\iint_D r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta $$ 如果区域 $D$ 如图 7-23 所示，则有 $$ \sigma=\iint_D r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=\int_\alpha^\beta \mathrm{d} \theta \int_0^{r(\theta)} r \mathrm{~d} r=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r(\theta) \mathrm{d} \theta . $$ 例 15 将下列区域 (见图 7-25) 用极坐标表示 (1) $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x\right\}$;  解 (1) 区域的边界曲线为 $x^2+y^2=2 x$. 令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则有表达 式 $r=2 \cos \theta$. 再令 $r=0$ ，则有 $\cos \theta=0$ ，即 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 或 $\theta=-\frac{\pi}{2}$ ，从而 $\theta$ 的变化范围为 $$ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $$ 从极点出发作一条极角为 $\theta$ 的射线，交于区域边界于两点: $r=0, r=2 \cos \theta$ ， 故区域的极坐标表示式为 $$ \left\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq 2 \cos \theta,-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right\} . $$ 例 15 将下列区域（见图 7-25) 用极坐标表示 (2) $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq y\right\}$;  解 (2) 区域的边界曲线为 $x^2+y^2=y$. 令 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则有表达式 $r=\sin \theta$. 再令 $r=0$ ，则有 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$ ，从而 $\theta$ 的变化范围为 $$ 0 \leq \theta \leq \pi . $$ 从极点出发作一条极角为 $\theta$ 的射线，交于区域边界于两点: $r=0, r=\sin \theta$ ， 故区域的极坐标表示式为 $$ \{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq \sin \theta, 0 \leq \theta \leq \pi\} . $$ 例 15 将下列区域 (见图 7-25) 用极坐标表示 (3) $\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq a^2(a>0)\right\}$; 解 (3) 极点在区域的内部，故 $\theta$ 的取值范围为 $0 \leq \theta \leq 2 \pi$. 而边界曲线 $x^2+y^2=a^2$ 的极坐标方程。 为 $r=a$ ，故区域的极坐标表示式为 $$ \{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\} . $$  例 15 将下列区域 (见图 7-25) 用极坐标表示 (4) $D$ 为 $y=x, y=0$ 与 $x=1$ 所围区域. 解 (4) 利用极坐标变换式 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ 可知直线 $y=x$ 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{4}$ ，直 线 $x=1$ 的极坐标方程为 $r=\frac{1}{\cos \theta} \circ$ 故区域的极坐标表示式为 $\left\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq \frac{1}{\cos \theta}, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$  例 16 计算 $\iint_D \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由中心在原点，半径为 $a$ 的圆周所围成 的闭区域. 解 在极坐标系下， $D=\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq a, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\}$ 则 $\iint_D \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} \sigma=\iint_D \mathrm{e}^{-r^2} r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=\int_0^{2 \pi} \mathrm{d} \theta \int_0^a \mathrm{e}^{-r^2} r \mathrm{~d} r$ $=\pi\left(1-\mathrm{e}^{-a^2}\right)$. 注 1 若用直角坐标系形式，则有 $I=\int_{-a}^a \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} y$ ， 其中积分 $\int \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d}$ 不能用初次函数表示其结果， 因此无法用高等数学解决它. 注 2 可以利用本题的结果计算积分 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$. 先考虑 $I^2=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x \cdot \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{~d} y=\iint_D \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x<+\infty, 0 \leq y<+\infty\}=\left\{(\rho, \theta) \mid 0 \leq \rho<+\infty, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right\}$ ， 则有 $I^2=\iint \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\rho^2} \rho \mathrm{d} \rho=\frac{\pi}{2}\left[-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\rho^2}\right]_0^{+\infty}=\frac{\pi}{4}$ ， 即 $I=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. 例 17 计算 $\iint_D \frac{y^2}{x^2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由曲线 $x^2+y^2=2 x$ 所围成的平面区域. 解 积分区域 $D$ 是以点 $(1,0)$ 为圆心，以 1 为半径的圆域，其边界曲线的极坐 标方程为 $r=2 \cos \theta$. 于是区域 $D$ 的极坐标为 $$ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 2 \cos \theta . $$ 所以 $$ \begin{aligned} \iint_D \frac{y^2}{x^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y & =\iint_D \frac{r^2 \sin ^2 \theta}{r^2 \cos ^2 \theta} r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta} \frac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta} r \mathrm{~d} r \\ & =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin ^2 \theta \mathrm{d} \theta=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=\pi . \end{aligned} $$ 例 18 写出在极坐标系下二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的二次积分，其中区域 $$ D=\left\{(x, y) \mid 1-x \leq y \leq \sqrt{1-x^2}, 0 \leq x \leq 1\right\} . $$ 解 利用极坐标变换 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$, 易见直线方程 $x+y=1$ 的极坐标形式 为 $$ r=\frac{1}{\sin \theta+\cos \theta}, $$ 故积分区域 $D$ (见图 7-26) 的积分限为 $$ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \frac{1}{\sin \theta+\cos \theta} \leq r \leq 1, $$ 
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