收敛级数的基本性质

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 35 次更新导出Word

由于级数的收敛性最终归结为部分和数列的收敛性，所以利用数列极限的运 算法则，容易证明级数的下列性质.
性质 1 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，其和为 $s$ ，则对任何常数 $k$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n$ 收敛，且 其和为 $k s$ ，即

$$
\sum_{n=1}^{\infty} k u_n=k \sum_{n=1}^{\infty} u_n .
$$

证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和是 $s_n$ ，则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ；又设 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n$ 的部分和为 $s_n^{\prime}$ ， 即

$$
\sum_{i=1}^n k u_i=s_n^{\prime},
$$

则
因此
即

$$
\begin{gathered}
\lim _{n \rightarrow \infty} s_n^{\prime}=\lim _{n \rightarrow \infty} k s_n=k \lim _{n \rightarrow \infty} s_n=k s, \\
\sum_{n=1}^{\infty} k u_n=k \sum_{n=1}^{\infty} u_n .
\end{gathered}
$$

性质 2 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n ， \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 分别收敛于 $s$ 和 $t$ ，即

$$
\sum_{n=1}^{\infty} u_n=s, \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n=t,
$$

则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 也收敛，其和为 $s \pm t$ ，即有

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n+\sum_{n=1}^{\infty} v_n .
$$

证 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n ， \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 的部分和分别为 $s_n, t_n$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 的部分和 为 $r_n=s_n+t_n$ ，由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n ， \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 均收敛，故由极限的运算性质知

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} r_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_n+t_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n+\lim _{n \rightarrow \infty} t_n=s+t,
$$

$$
\text { 即有 } \sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n+\sum_{n=1}^{\infty} v_n \text {. }
$$

例 7 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{3}{n(n+1)}\right)$ 的和.
解 根据等比级数的结论，知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$. 而由例 3 知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1$, 所以

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{n(n+1)}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n(n+1)}=4 .
$$

从性质 1 和 2 可直接得出如下推论:
推论 (1) 若 $k \neq 0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} k a_n$ 具有相同的收敛性；
(2) 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n ， \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 一个收敛一个发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \pm b_n\right)$ 一定发散.
例 8 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{2^n}\right)$ 的收玫性.
解 因级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}$ 发散， 又级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 收敛， 故级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{2^n}\right) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2^n}\right)$ 发散.
性质 3(级数收敛的必要条件) 如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0 .
$$

证 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n=s$ ，由于
故

$$
u_n=S_n-S_{n-1},
$$

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_n-s_{n-1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_n-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n-1}=s-s=0
$$

由性质 3 可直接得出如下推论.
推论 如果当 $n \rightarrow \infty$ 时，级数的一般项 $u_n$ 不趋于零，那么级数发散.
例如级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}$ ，由于

$$
\left|u_n\right|=\left|(-1)^{n-1} \frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1} \rightarrow 1(n \rightarrow \infty),
$$

即 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|u_n\right| \neq 0$ 时，一般项不趋于零，因此级数发散.
注 一般项趋于零不是级数收敛的充分条件，事实上许多发散的级数的一般 项是趋于零的，调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 就是一例.
性质 4 改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性.
证 设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的部分和为 $s_n$ ， 不妨假设在级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 中 $u_1$ 改变成了 $v_1$ ，其余不 变，记新级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ ， 其中 $v_n=u_n(n=2,3,4, \cdots)$ ，并设其部分和为 $s_n$ ， 则有 $S_n^{\prime}=S_n+u_1-v_1$,
因此当 $n \rightarrow \infty$ 时， $s_n^{\prime}$ 有极限的充要条件为 $s_n$ 有极限，即级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 有相同 的收玫性.
级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性.

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