矩阵的乘法

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 33 次更新导出Word

定义5
设矩阵 $A=\left(a_j\right)$ 是一个 $m \times p$ 矩阵, 矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ 是一个 $p \times n$ 矩阵, 定义矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积是
一个 $m \times n$ 矩阵 $C=\left(c_{i j}\right)$ ，其中矩阵 $C=\left(c_{i j}\right)$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $c_{i j}$ 是由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行元素
$a_{11}, a_2, \cdots, a_p$ 与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列相应元素 $b_{1 j}, b_{2 j}, \cdots, b_B$ 乘积之和，即

$$
c_{i j}=\sum_{k=1}^p a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i p} b_{p j} .
$$

例 2 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 0\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right)$ 的乘积 $A B$.
解 因为矩阵 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩阵，矩阵 $B$ 是 $3 \times 3$ 矩阵， $A$ 的列数等于 $B$ 的行数，所以矩阵 $A$ 与 $B$ 可 以相乘，乘积 $A B$ 是一个 $2 \times 3$ 矩阵.

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} & =\left(\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
2 & 2 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & -1
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
3 \times 1+(-1) \times 1+1 \times 2 & 3 \times(-1)+(-1) \times 1+1 \times 1 & 3 \times 0+(-1) \times 1+1 \times(-1) \\
2 \times 1+2 \times 1+0 \times 2 & 2 \times(-1)+2 \times 1+0 \times 1 & 2 \times 0+2 \times 1+0 \times(-1)
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
4 & -3 & -2 \\
4 & 0 & 2
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

例 3 求矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -6 & -3\end{array}\right)$ 的乘积 $A B$ 及 $B A$.
解 $A B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -6 & -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8 & -4 \\ 16 & 8\end{array}\right)$;

$$
\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-6 & -3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
2 & -2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right) .
$$

注意: (1) 矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下， $A B \neq B A$.
（2）尽管矩阵 $A$ 与 $B$ 满足 $A B=O$ ，但是得不出 $A=O$ 或 $B=o$ 的结论.

矩阵乘法满足的运算规律（假设可行）
![图片](/uploads/2023-01/image_202301019afa6c6.png)
证明 (1) 结合律
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$ 是一个 $m \times s$ 矩阵， 矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)$ 是一个 $s \times p$ 矩阵，矩阵 $\boldsymbol{c}=\left(c_{i j}\right)$ 是一个 $p \times n$ 矩阵. 由矩阵乘法的定义知，矩阵 $\left(A_{m \times s} \boldsymbol{B}_{5 \times p}\right) \boldsymbol{C}_{p \times n}$ 与 $A_{m \times s}\left(\boldsymbol{B}_{s \times p} C_{p \times n}\right)$ 都有意义，且都是 $m \times n$ 矩阵. 只需验证这两个矩阵在相应位置的元素相等即可.
矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{B}_{s \times p}$ 中第 $i$ 行元素为 $\sum_{k=1}^s a_k b_{k 1}, \sum_{k=1}^s a_k b_{k 2}, \cdots, \sum_{k=1}^s a_k b_{i p}$ ，于是矩阵 $\left(\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{B}_{s \times p}\right) \boldsymbol{C}_{p \times n}$ 中 $(i, j)$ 元素为

$$
\left(\sum_{k=1}^s a_{i k} b_{k 1}\right) c_{1 j}+\left(\sum_{k=1}^s a_{i k} b_{k 2}\right) c_{2 j}+\cdots+\left(\sum_{k=1}^s a_{i k} b_{k p}\right) c_{p j}=\sum_{t=1}^p \sum_{k=1}^s a_{i k} b_{k t} c_{j j} .
$$

同理可以验证矩阵 $\boldsymbol{A}_{m \times s}\left(\boldsymbol{B}_{s \times p} \boldsymbol{C}_{p \times n}\right)$ 中 $(i, j)$ 元素也是 $\sum_{t=1}^p \sum_{k=1}^s a_{k k} b_k c_{t j}$ ，所以矩阵乘法的结合律成立.
其余证明留给读者作为练习.
例 4 设有线性方程组

$$
\text { 令 } \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right) \quad \text { 则有: } \quad \boldsymbol{A x}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n \\
\vdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n
\end{array}\right) \text {. }
$$

再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示： $A x=\beta$
定义方阵的方幂如下: $A^k=\underbrace{A A \cdots A}_{k \uparrow}$ (这里 $k$ 为正整数)，
并且规定：对非零方阵 $A$ ，有 $A^0=E$.
方阵的方幂满足以下运算规律 (这里 $k, l$ 均为非负整数) :

$$
\boldsymbol{A}^k \boldsymbol{A}^l=\boldsymbol{A}^{k+l} ; \quad\left(\boldsymbol{A}^k\right)^l=\boldsymbol{A}^{k l} \text {. }
$$

由于矩阵乘法不满足交换律，一般来讲 $(A B)^k \neq A^k B^k ，(A+B)^2 \neq A^2+2 A B+B^2$.
只有当 $A$ 与 $B$ 可交换（即 $A B=B A)$ 时，公式
I $--(A B)^k=A^k B^k,(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2,(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ 等才成立.
例 5 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 求 $A^2$ 和 $A^3$.

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^2 & =\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \\
\boldsymbol{A}^3 & =\boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\end{aligned}

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