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线性代数[教程类] Linear Algebra （考研专区）
第一篇 方阵的行列式
上三角方阵与下三角方阵
上三角方阵与下三角方阵
日期:
2023-10-01 11:28
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**下三角方阵定义** 主对角线上方全为零元素，这样的行列式称为下三角行列式 例1 计算下三角方阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & c_{2 n} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_{n 2} & \cdots & a_m\end{array}\right)$ 的行列式 $|A|$ 解：根据行列式的定义 $$ |\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum_{p_1 p_2 \cdots p_n}(-1)^{\tau\left(p p_2 \cdots p_n\right)} a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n} $$ 该行列式中有较多的元素为零。要使得乘积项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{np_ n}$ 不等于零，元素 $a_{1p}$ 只能取 $a_{11}$ ；元素 $a_{2 p_2}$ 只能取 $a_{22} ； \cdots \cdots$ ；元素 $a_{np_i}$ 只能取 $a_{nn}$ ， 从而行列式的展开式中只有 $a_{11} a_{22} \ldots a_{mm}$ 这一项可能不是零，其它项全为零. 而 $a_{11} a_{22} \cdots a_{mm}$ 的列标是标准排列，逆序数为零，所以 $|A|=a_{11} a_{22} \cdots a_{mm}$. 下三角形行列式的值等于主对角线上 $n$ 个元素的乘积, 而与主对角线下方的元素无关. $$ \text { 例3 计算上三角方阵 } A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_1 & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_2 & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_m \end{array}\right) \text { 的行列式 }|A| \text { (这样的行列式称为上三角行列式) . } $$ 要使得乘积项 $a_{1 p_1} a_{2 p_2} \cdots a_{n p_n}$ 不等于零，元素 $a_{n p_n}$ 只能取 $a_{n n}$; 元素 $a_{n-1, p_{n-1}}$ 只能取 $a_{n-1, n-1}$; ；元素 $a_{1P_1}$ 只能取 $a_{11}$ 。 于是行列式的展开式中只有 $a_{11} a_{22} \cdots a_m$ 这一项可能不是零， 其它项全为零. 而 $a_{11} a_{22} \cdots a_m$ 的列标是标准排列，逆序数为零，所以  对角矩阵 由于对角矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{12} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_m\end{array}\right)$ 既是上三角同时也是下三角方阵， 所以 $$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} $$ 对角矩阵的行列式称为对角行列式. 
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