向量组的等价

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 58 次更新导出Word

定义 5
设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_1$ 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组.
如果向量组 $B$ 中每一个 向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ 均可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则称向量组 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3$ 可由向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示.
如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以相互线性表示，则称向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.
若向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则对向量组 $B$ 中每一个向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ ，存在一组数 $k_{1 j}, k_{2 j}, \cdots, k_{m j}$ ，使得

$$
\boldsymbol{\beta}_j=k_{1 j} \boldsymbol{\alpha}_1+k_{2 j} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{m j} \boldsymbol{\alpha}_m=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)\left(\begin{array}{c}
k_{1 j} \\
k_{2 j} \\
\vdots \\
k_{m j}
\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, s) .
$$

以向量 $\left(\begin{array}{c}k_{1 j} \\ k_{2 j} \\ \vdots \\ k_{m j}\end{array}\right)$ 为列，得到一个 $m \times s$ 矩阵

$$
\boldsymbol{K}_{m \times s}=\left(\begin{array}{cccc}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1 s} \\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2 s} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
k_{m 1} & k_{m 2} & \cdots & k_{m s}
\end{array}\right) .
$$

矩阵 $\boldsymbol{K}_{m \times s}$ 称为这一线性表示的系数矩阵.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)$ ，则有 $B=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{m \times s}$.
定理2
设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta, \beta, \cdots, \beta$, 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量 组.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3\right)$ ，则向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示的充分必要条 件是矩阵方程 $A X=B$ 有解.
向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解.
证明
向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
1 存在这一表示的系数矩阵 $\boldsymbol{K}_{n \times s}$ ，使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{n \times s}$.
2 若矩阵方程 $A X=B$ 有解 $X=K_{\operatorname{mes}}$ ，
向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价
(1) 存在系数矩阵 $K_{m \times s}$ 与 $M_{s x m}$ ，使得 $B=A K_{m \times s}$ 且 $B M_{s \times m}=A$.
2 矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解 $X=K_{m \times s} ， Y=M_{s m m}$.

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对增广矩阵实施初等行变换，有

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \mid \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(\begin{array}{cc|ccc}
1 & -2 & 3 & -3 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -2 & 1 & 0
\end{array}\right) \square\left(\begin{array}{cc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$

可见，三个方程组 $A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2,3)$ 的解分别为

$$
\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right),
$$

$$
\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right),
$$

$$
\left( \begin{array}{l}1  \\ 1\end{array}\right)
$$

于是有 $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 使得 $A \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$. 因此向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示.

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