随机变量的定义

日期: 2023-11-28 07:44 查看: 28 次更新导出Word

## 引言

许多随机试验的结果与实数密切联系,  也有些随机试验结果从表面上看并不与实数相联系，但是我们可以通过映射让它与实数关联。
比如扔硬币，规定正面向上为1，反面向上为0，那么扔两次的结果就是：
$\Omega=\{00,01,10,11\}$
如果以$X$记正面向上的次数，那么样本空间就可以写成
$X(\omega)=\{0,1,2\}$通过简单的“映射”，我们把试验的结果转换为了实数轴$R$上的函数。

再如公交车每隔5分钟来一次，那么一个人到公交车站台等车的时间就是
$\Omega=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$
可以直接把上面的等车时间映射为实数轴$R$上的函数
$X(\omega)=\{ 0 \leq x \leq 5 \}$

在上面这两种映射里，这仅是映射的一种方式，就像扔硬币，你也可以映射“扔两次结果一样”的记做1，”扔两次结果不一样”的记做0，都是可以的，这不重要，重要的是他都可以映射为定义域为实数的函数。

为什么要做映射？因为数学喜欢研究抽象的。
就像小时候学习，2个苹果加3个梨等于5个水果，我们抽象出
$2+3=5$, 这样再遇到 2个橘子加3个香蕉就知道等于5个水果。

下面我们通过几个例子来引入随机变量的概念.

![图片](/uploads/2023-01/image_202301034e441c8.png)

**定义1** 在随机试验E中， $\Omega$ 是相应的样本空间，如果对 $\Omega$ 中的每一个样本点 $\omega$ ，有唯一一个实数 $X(\omega)$ 与它对应，那么就把这个定义域为 $\Omega$ 的单值实值函数$X=X(\omega)$ 称为是 (一维) 随机变量.

随机变量一般用大写字母 $X, Y, Z$ 表示.
引进随机变量后，随机事件及其概率可以通过随机变量来表达.

01 如果一个随机变量仅可能取有限或可列个值，则称其为离散型随机变量。
02 如果一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间（或某几个区间的并），则称其为连续型随机变量。

离散型随机变量：可能取值是可数有限个或可列无穷多个。
例如：火灾发生的次数、120电台电话被呼叫次数、筛子点数等

连续型随机变量：是指可能值可以连续的充满某个空间。
例如：灯泡的寿命、等车的时间等等。

**随机变量的直观解释**
随机变量$X$是样本点的函数，这个函数的自变量是样本点，可以是数，也可以不是数，定义域是样本空间，而因变量必须是实数。这个函数可以让不同的样本点对应不同的实数，也可以让多个样本点对应于一个实数。

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