圆心角

日期: 2023-11-06 10:07 查看: 25 次更新导出Word

**定义**
顶点在圆心的角叫做圆心角 (central angle)

如图   $\odot O$ 中, 当圆心角 $\angle A O B=$ $\angle A^{\prime} O B^{\prime}$ 时, 它们所对的弧 $\overparen{A B}$ 和 $A^{\prime} B^{\prime}$ 、弦 $A B$ 和 $A^{\prime} B^{\prime}$ 相等吗? 为什么?
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我们把 $\angle A O B$ 连同 $\overparen{A B}$ 绕圆心 $O$ 旋转, 使射线 $O A$ 与 $O A^{\prime}$ 重合.
$\because \quad \angle A O B=\angle A^{\prime} O B^{\prime}$,
$\therefore$ 射线 $O B$ 与 $O B^{\prime}$ 重合.
又 $O A=O A^{\prime}, O B=O B^{\prime}$,
$\therefore$ 点 $A$ 与 $A^{\prime}$ 重合, 点 $B$ 与 $B^{\prime}$ 重合.
因此, $\overparen{A B}$ 与 $\widehat{A^{\prime} B^{\prime}}$ 重合, $A B$ 与 $A^{\prime} B^{\prime}$ 重合. 即 $\overparen{A B}=\overparen{A^{\prime} B^{\prime}}, A B=A^{\prime} B^{\prime}$.这样, 我们就得到下面的定理:

**性质**

在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.
同样, 还可以得到:
在同圆或等圆中, 如果两条弧相等, 那么它们所对的圆心角相等, 所对的弦相等;

在同圆或等圆中, 如果两条弦相等, 那么它们所对的圆心角相等, 所对的优弧和劣弧分别相等.

**例1** 如图 24.1-10, 在 $\odot O$ 中, $\overparen{A B}=\overparen{A C}$, $\angle A C B=60^{\circ}$. 求证: $\angle A O B=\angle B O C=\angle A O C$.
证明: $\because \overparen{A B}=\overparen{A C}$,
$\therefore A B=A C, \triangle A B C$ 是等腰三角形.
又 $\angle A C B=60^{\circ}$,
$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形, $A B=B C=C A$.
$\therefore \angle A O B=\angle B O C=\angle A O C$.

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