正态总体的抽样分布

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 19 次更新导出Word

定理 1 设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，
则有
（1） $\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$, 即 $\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$;
(2) $\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}=\frac{n S_n^2}{\sigma^2}=\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2 \sim \chi^2(n-1)$
(3) $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立.

定理2
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，
则有

$$
\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{S}=\sqrt{n-1} \frac{\bar{X}-\mu}{S_n} \sim t(n-1)
$$

证明 由定理1可知
由 (1) 知 $\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$,
由 (2) 知 $\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n+1)$
由 (3) 知 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立，
根据t分布的定义，可得

$$
\frac{\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma}}{\sqrt{\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} /(n-1)}}=\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{S} \sim t(n-1)
$$

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定理3
设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_m\right)$ 是取自总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 的一个简单随机样本， $\left(Y_1, Y_2, \cdots, Y_n\right)$ 是取自总体 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ 的一个简单随机样本， 两个总体相互独立。

定义

$$
\begin{aligned}
& \bar{X}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m X_i, \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, \\
& S_X^2=\frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^m\left(X_i-\bar{X}\right)^2, S_Y^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2, \\
& S_w^2=\frac{(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2}{m+n-2},
\end{aligned}
$$

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