均值的置信区间

日期: 2023-10-01 11:28 查看: 13 次更新导出Word

01.已知方差 $\sigma^2$ ，期望 $\mu$ 的双侧置信区间；
02.方差 $\sigma^2$ 末知，期望 $\mu$ 的双侧置信区间.
(1)已知方差 $\sigma^2$ ，期望 $\mu$ 的双侧置信区间
首先， $\mu$ 的无偏估计 $\bar{X}$ ，其次，构造随机变量

$$
G(\mu, \bar{X})=\sqrt{n} \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)
$$

则 $\alpha, b$ 需要满足
取

$$
a=u_{\frac{\alpha}{2}}=-u_{1-\frac{\alpha}{2}}, \quad b=u_{1-\frac{\alpha}{2}}
$$

不等式等价变形后即得 $\mu$ 的双侧置信区间:

$$
\mu \in\left[\bar{X}-u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}+u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
$$

相应的置信区间观测值为:

$$
\mu \in\left[\bar{x}-u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x}+u_{1-\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]
$$

如果要求 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间，则
一方面，由 $P\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \leq b\right)=1-\alpha$ ，可得 $b=u_{1-\alpha}$ ，即 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间的置信 另一方面，由 $P\left(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma} \geq a\right)=1-\alpha$ ，可得 $a=u_\alpha=-u_{1-\alpha}$ ，即 $\mu_{\text {的单侧 } 1-\alpha \text { 置信 }}$ 区间的置信下限为 $\bar{X}-u_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ ，相应的 $\mu$ 的单侧 $1-\alpha$ 置信区间为 $\left[\bar{X}-u_{1-\alpha} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right.$, $\left.+\infty\right)$.

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