数列

日期: 2023-10-23 20:39 查看: 36 次更新导出Word

数列（number sequence）是由数字组成的序列，也即是全序排列的至多可列的数。

## 概念

有至多可列个数 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$ 按照次序一直排列下去，就组成一个数列。其中，这个数列的第 $n$ 项记为 $x_n ， x_n$ 是这个数列的通项公式，这个数列记为 $\left\{x_n\right\}$ 或 $\left\{x_n\right\}_{n=1}^i n f t y$ 。
数列中的元素是有顺序的，这种顺序决定了数列的通项公式，。
例:

设 $x_n=\frac{1}{n}$ ，那么 $\left\{x_n\right\}$ 就是一个数列，代表 $\left\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots\right\}$.

## 数列的表示

数列中所有项的项数所满足的通式，称为这个数列的通项公式。例如， $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 这个数列的通项公式是 $x_n=\frac{1}{n}$ ，除了 通项公式之外，数列也可以用递推公式给出，例如上面一个数列的递推公式可以是 $\frac{1}{x_{n+1}}=\frac{1}{x_n}+1$ 。

## 分类

### 有限数列

如果一个数列的元素是有限的，称其为有限数列，否则称为无穷数列。有 $n$ 项的有限数列一般记作 $\left\{x_k\right\}_{k=1}^n$ ，无穷数 列一般记作 $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，一般所说的数列是可数的。

### 单调数列

1. 若 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}, x_n \leqslant x_{n+1}$ ，称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调递增的，不取等号称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是严格递增的；
2. 若 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}, x_n \geqslant x_{n+1}$ ，称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调递减的，不取等号称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是严格递减的。
   例:

$\{2 n+1\}$ 是单调增数列， $\{1-2 n\}$ 是单调减数列， $\left\{100-n^2\right\}$ 不是单调数列。

## 有界数列

若 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}, \exists M, N \in \mathbb{R}, M \leqslant x_n \leqslant N$ ，称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是有界数列， $M$ 称为数列的下界， $N$ 称为数列的上 界。同样，有界数列也可以这样定义: $\forall n \in \mathbb{N}^{+}, \exists A \in \mathbb{R},\left|x_n\right| \leqslant A$ ，称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是有界数列。
例:
$\left\{1-\frac{1}{n}\right\}$ 是有界数列， $\{2 n+1\},\{n \sin n\}$ 不是有界数列，是无界数列。

## 求和与差分

对数列 $\left\{x_n\right\}$ 第 1 项到第 $n$ 项求和，记为 $S_n=\sum_{k=1}^n x_n$ 。一些特殊的求和公式详见数列求和。
给定一个数列 $\left\{A_n\right\}_{n \geqslant 1}$ ，如果存在数列 $\left\{a_n\right\}_{n \geqslant 1}$ 满足 $A_1=a_1$ 且 $\left\{a_n\right\}_{n \geqslant 1}$ 的求和数列是 $\left\{A_n\right\}_{n \geqslant 1}$ ，我们就称 $\left\{a_n\right\}$ 是 $\left\{A_n\right\}$ 的差分数列，简称差分。
一个数列 $\left\{A_n\right\}_{n \geqslant 1}$ 的差分数列存在且唯一，存在性由下述公式构造

$$
a_n=A_n-A_{n-1}, n \geqslant 1, A_0=0 .
$$

对数列 $\left\{x_n\right\}$ 第倾到第 $\mathrm{n}$ 项求和，记为 $S_n=\sum_{k=1}^n x_n$ 。一些特殊的求和公式详见数列求和。
给定一个数列 $\left\{A_n\right\}_{n \geqslant 1}$ ，如果存在数列 $\left\{a_n\right\}_{n \geqslant 1}$ 满足 $A_1=a_1$ 且 $\left\{a_n\right\}_{n \geqslant 1}$ 的求和数列是 $\left\{A_n\right\}_{n \geqslant 1}$ ，我们就称 $\left\{a_n\right\}$ 是 $\left\{A_n\right\}$ 的差分数列，简称差分。
一个数列 $\left\{A_n\right\}_{n \geqslant 1}$ 的差分数列存在且唯一，存在性由下述公式构造

$$
a_n=A_n-A_{n-1}, n \geqslant 1, A_0=0 .
$$

唯一性可以用反证法证明，假设存在两个不同的差分数列，那么这两个数列的差数列的求和数列是零数列，由此可知 这两个数列一样，矛盾。
求和与差分的关系可以理解为离散的积分和导数的关系，如果不限定初始条件 $a_1=A_1$ ，得到的数列 $\left\{a_n\right\}$ 将不是唯 一的，且相差一个常数。
上述定义要求全序的指标集 $I$ 有下界或上界，否则将无法定义有限求和，会涉及到收敛性问题。但是依然可以定义差 分。

## 特殊的数列

1. 等差数列: 从第二项起，每一项与前一项的差相等的数列称为等差数列。用数学语言描述就是:
   $\exists d \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N}^{+}, x_{n+1}-x_n=d . d$ 称为这个等差数列的公差。等差数列中 $x_n$ 也称为 $x_{n-1}$ 和 $x_{n+1}$ 的等 差中项。等差数列是特殊的单调数列。

例:
$\{2 n+1\}=\{3,5,7, \cdots\}$ 是公差为 2 的等差数列，常数列 $\{a\}=\{a, a, a, \cdots\}$ 是公差为零的等差数列

例:
2. 等比数列: 从第二项起，每一项与前一项的比值相等的数列称为等比数列。用数学语言描述就是:
$\exists q \in \mathbb{R}, q \neq 0, \forall n \in \mathbb{N}^{+}, \frac{x_{n+1}}{x_n}=q . q$ 称为这个等比数列的公比。等比数列中 $x_n$ 也称为 $x_{n-1}$ 和 $x_{n+1}$ 的等 比中项。
例:
$\left\{2^n\right\},\left\{2^{-n}\right\},\left\{5 \cdot 3^{4 n+2}\right\}$ 都是等比数列。

3. 常数数列: 每一项都是一个定值的数列称为常数数列，常数数列是单调数列，但不是严格单调数列。同时它还是 公差为 0 的等差数列，当常数数列不是零数列时还是公比为 1 的等比数列。
4. 高阶等差数列: 等差数列的推广，假设有正整数 $n$ ，那么 $n$ 阶等差数列定义为: 差分数列为 $n-1$ 阶等差数列的 数列，且零阶等差数列是常数列。由此可知一阶等差数列就是通常的等差数列。 $n$ 阶等差数列的通项公式是关于 有序指标集中元素的不大于 $n$ 次的多项式。
5. 差比数列: 等差数列和等比数列逐项相乘的数列，假设等差数列和等比数列的通项公式分别是 $a_n=a_0+n d, b_n=b_0 q^n$ ，那么可以定义差比数列 $a_n b_n=\left(a_0+n d\right) b_0 q^n$.

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