对数求导法

日期: 2023-10-18 14:12 查看: 20 次更新导出Word

对数求导法是一种求函数的导数的方法

## 思路

如果定义在某点集上的恒正 $f(x)$ 是若干易求出导数的函数的乘积和商，对于 $f(x)$ 的导数，可以通过对数求导法得出，具体步骤是：对函数两侧分别取对数，利用对数的性质，将右侧的函数化连乘为连加。然后两侧同时关于自变量求导，左侧 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \ln f(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ 。
如果函数不满足非负条件，但在所考虑的区间上没有零点，那么可以先取绝对值，再求导。
如果函数有零点，但在所考虑区间上是连续可微的，可以先在非零点处取绝对值求导，然后利用连续性整理导函数，这时在求得的结果中只有一些可去间断点，仅需用极限定义这些间断点处的值即可 (一般来说，可以通过通分消去零因子实现）。

## 例子

例如 $f(x)=\sqrt{\frac{x^x \sin 2 x}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\left(2 x^2+1\right)^2}}$ ，同时取对数，有

$$
\ln f(x)=\frac{1}{2}\left(x \ln x+\ln \sin 2 x-\sqrt{x}-2 \ln \left(2 x^2+1\right)\right) .
$$

进而，两边同时求导，有

$$
\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}\left(1+\ln x+2 \cot 2 x-\frac{1}{2 \sqrt{x}}-2 \frac{4 x}{2 x^2+1}\right) .
$$

因此

$$
f^{\prime}(x)=\sqrt{\frac{x^x \sin 2 x}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\left(2 x^2+1\right)^2}}\left(\frac{1+\ln x}{2}+\cot 2 x-\frac{1}{4 \sqrt{x}}-\frac{4 x}{2 x^2+1}\right) .
$$

## 多项式函数

例如多项式函数 $f(x)=x(x-1)^2(x-2)^3$. 取绝对值 $|f(x)|=|x|(x-1)^2|x-2|^3$. 取对数 $\ln |f(x)|=\ln |x|+2 \ln |x-1|+3 \ln |x-2|, x \neq 0,2$. 求导 $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}$. 于是 $f^{\prime}(x)=x(x-1)^2(x-2)^3\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}\right)$ 最后补充定义，消去零因子实现导函数连续即可。
而由对数求导法，可以证得多项式理论中多项式与其导函数及多项式零点的一个定理：
设多项式函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x) ， f(x)$ 的零点为 $x_i, i=1,2, \cdots, k$ 且每个零点对应的重数为 $m_i$ ，那么有

$$
f^{\prime}(x)=f(x) \sum_{i=1}^k \frac{m_i}{x-x_i}, \forall x \neq x_i .
$$

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