定积分

日期: 2023-10-08 13:44 查看: 14 次更新导出Word

定积分 (definite integral) 是数学分析中的重要概念，它有很多种形式，如Riemann 积分、Darboux 积分、
Lebesgue 积分等。这里介绍最简单的 Riemann 积分 (黎曼积分) 。各种类型定义的定积分只是在某些特殊函数上情 况不同，而对于一般的函数，这些定积分几乎等价。
定积分都有一个直观的几何意义：对于一个给定的正实值函数 $f(x)$ ，在一个实数区间 $[a, b]$ 上的定积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 可以在数值上理解为在坐标平面上，由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a, x=b$ ，以及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积值（一 种确定的实数值)。

## Riemann 积分的定义

设定义在 $[a, b]$ 上的函数 $f(x)$ ，把区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个子区间，设分点为
$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_i<\cdots<x_n=b$ ，记第 $i$ 个小区间的长度为 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ ，定义分割的模 长 $\|\Delta\|=\max _{1 \leqslant i \leqslant n} \Delta x_i$ ，设每个子区间内有一个点 $\xi_i \in\left[x_{i-1}, x_i\right]$ ，则称和式 $S=\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i$ 为函数 $f(x)$ 在 区间 $[a, b]$ 上的一个黎曼和（Riemann Sum），当 $\|\Delta\| \rightarrow 0$ 时，这样的极限我们就称它是函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，也称黎曼积分。它就是

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{\|\Delta\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i
$$

这个极限值如果存在，我们就说函数 $f(x)$ 在区间 $a, b$ 上可积，积分值既不依赖于 $\xi_i$ 的取值，也不依赖于 $[a, b]$ 的分 法，所以是唯一的，这也就是说定积分值是唯一的。

## 可积性 。

Darboux 定理
为了研究函数是否可积，我们引入 Darboux 和的概念，设 $f(x)$ 在第 $i$ 个区间的最值为

$$
M_i=\sup _{x \in\left[x_{i-1}, x_i\right]} f(x), \quad m_i=\inf _{x \in\left[x_{i-1}, x_i\right]} f(x)
$$

并引入记号

$$
\bar{S}=\lim _{\|\Delta\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(M_i\right) \Delta x_i, \quad \underline{S}=\lim _{\|\Delta\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(m_i\right) \Delta x_i
$$

我们称 $\bar{S}$ 与 $\underline{S}$ 为 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的 Darboux 上和与 Darboux 下和。它们显然有如下的性质:

1. 在原有的分割中添加新的分点，上和与下和保持单调性，即上和不增、下和不减；
2. 不论分法如何，总有 $\bar{S} \geqslant \underline{S}$ 。
   可以证明：对于闭区间上的有界函数，它的上和与下和的极限均存在，这就是 Darboux 定理。
   
   **第一充要条件**
   在区间 $[a, b]$ 上的有界函数可积的充要条件是上和与下和的极限相等，也就是说 $\lim _{\|\Delta\| \rightarrow 0}(\bar{S}-\underline{S})=0$ 。用极限的语言 来描述就是: $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$, 当 $\|\Delta\|<\delta$ 时，有 $\bar{S}-\underline{S}<\varepsilon$.
   记 $\omega_i=M_i-m_i$ ，我们称 $\omega_i$ 为第 $i$ 个区间上的振幅，那么上述条件又等价于

$$
\lim _{\|\Delta\| \rightarrow 0} f\left(\omega_i\right) \Delta x_i=0 .
$$

****第二充要条件
在区间 $[a, b]$ 上的有界函数可积的充要条件是对于任意的正数 $\varepsilon, \sigma$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当对闭区间的任意分法都满足 $\|\Delta\|<\delta$ 时，对应于幅度 $\omega_i \geqslant \varepsilon$ 的那些部分区间的长度不超过 $\sigma$ 。

**常见的可积函数**

1. 闭区间 $I$ 上的连续函数一定在该区间上可积。
2. 单调有界函数是可积函数。
3. 不连续点组成的集合是零测集的函数也是可积函数。

## 定积分的性质

1. 积分限交换: $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=-\int_b^a f(x) \mathrm{d} x$
2. 积分区间的可加性: $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x, \forall a, b, c \in S$ ，函数 $f(x)$ 在闭区间 $S$ 上可 积。
3. 可积函数的线性组合还是可积的: $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \int_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x)) \mathrm{d} x=\alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d} x+\beta \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
4. 可积函数的绝对值是可积的，且 $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \geqslant 0$ 。
5. 定积分具有正定性: 若 $f(x)$ 可积，那么 $f^2(x)$ 也可积，且 $\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x \geqslant 0$ ，取等号当且仅当 $f(x)$ 几乎处处 为零 (函数值不为零的点组成的集合是一个零测集)。

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