一致收敛

日期: 2023-10-08 13:37 查看: 26 次更新导出Word

在函数项级数理论中，函数项级数的一致收敛是一个重要的概念。对于一个函数项级数，仅凭收敛这一个条件，就算函数项级数中每个函数都是连续的，也不能推出和函数的连续性，这时需要引入一致收敛的概念。

## 定义 。

设函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ ，若对任意的 $\varepsilon>0$ 以及 $x \in X$ ，存在仅和 $\varepsilon$ 有关的常数 $N(\varepsilon) \in \mathbb{N}^{+}$，使得当 $n>N$ 时恒有 $\left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon$ 成立，我们就说函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $X$ 上一致收敛于 $S(x)$ ，此外，这个定义还 有如下等价表述:

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in X}\left|S_n(x)-S(x)\right|=0
$$

上式是说，先固定 $n$ ，求有关 $x$ 的函数 $\left|S_n(x)-S(x)\right|$ 在 $X$ 上的上界，然后得到一个数列，如果这个数列是一个无 穷小数列，就说原函数列一致收敛。
一致收玫中的“一致”，从定义中来看是说常数 $N$ 的选择不依赖于 $x$ ，所有的 $x$ 表现的行为有“一致性”，这样可以在区 间上利用 $N$ 对函数项级数做整体把握，因此一致收敛是一个整体性质，而收敛性质是局部性质。

## Cauchy 柯西收敛准则 。

函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $X$ 上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说: 对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N(\varepsilon) \in \mathbb{N}^{+}$，当 $n>N$ 时都有

$$
\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x)\right|<\varepsilon \quad \forall p \in \mathbb{N}^{+}, \forall x \in X .
$$

对于函数列的情形，函数列 $\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $X$ 上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说: 对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在正整数 $N(\varepsilon) \in \mathbb{N}^{+}$，当 $n>N$ 时都有

$$
\left|f_{n+p}(x)-f_n(x)\right|<\varepsilon \quad \forall p \in \mathbb{N}^{+}, \forall x \in X .
$$

## 一致收敛判别法

**Weierstrass 判别法**
也称 $\mathrm{M}$ 判别法，如果函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 满足对充分大的 $n$ ，存在收玫的数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ 收敛，使得 $\left|u_n(x)\right| \leqslant M_n, \forall x \in X$ ，那么可得在 $X$ 上函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 一致收敛。通俗地说，就是一个函数项级数可以 被一个收敛的正项级数所控制。
对于函数列的情形，如果函数列 $\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足对充分大的 $n$ ，存在收玫的数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} M_n$ 收玫，使得 $\left|f_{n+1}(x)-f_n(x)\right| \leqslant M_n, \forall x \in X$ ，那么可得在 $X$ 上函数列 $\left\{f_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛。

**Dirichlet 判别法**
如果函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)$ 满足:

1. 固定 $x_0 \in X$ ，数列 $a_n(x)$ 单调，函数列 $\left\{a_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $X$ 上一致收敛于零；
2. 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n(x)$ 的部分和 $B_n(x)=\sum_{k=1}^n b_k(x)$ 在 $X$ 上一致有界。
   就可得函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)$ 在 $X$ 上一致收敛。

**Abel 判别法**

如果函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)$ 满足:

1. 固定 $x_0 \in X$ ，数列 $a_n(x)$ 单调，函数列 $\left\{a_n(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $X$ 上一致有界；
2. 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n(x)$ 在 $X$ 上一致收敛。
   就可得函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)$ 在 $X$ 上一致收玫。
   
   ## 一致收敛的性质。

以下均以函数项级数为例，它们不难推广到函数列中去。
**和的连续性 **
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项 $u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么这个级数的和函数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，即求和可以和求极限交换次序:

$$
\lim _{x \rightarrow x_0} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow x_0} u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n\left(x_0\right) .
$$

这个性质是最为判定函数项级数一致收敛的必要条件，如果一个连续函数项级数的和函数不连续，那么它一定不是一 致连续的。

**逐项求积**
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项 $u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么求和可以和求积分交换次序:

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) \mathrm{d} x=\int_a^b \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \mathrm{d} x .
$$

**逐项求导**
函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛，且每一项 $u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可导，那么求和可以和求积分交换次 序:

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} u_n(x) .

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