Lebesgue 测度

日期: 2023-10-05 07:37 查看: 29 次更新导出Word

在测度论中，Lebesgue 测度是对 Lebesgue 外测度的定义不变、限制点集的类型而得到的一种测度，它可以视为是 Lebesgue 积分的一种特例。

## 可测集

可测集的 Caratheodory 定义是：设一点集 $E \in \mathbb{R}^n$ ，若对任意的 $T \in \mathbb{R}^n$ ，总成立

$$
m^*(T)=m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right), \quad(*)
$$

则称 $E$ 是可测集。其中， $m^*(T)$ 表示点集 $T$ 的 Lebesgue 外测度， $E^c$ 表示 $E$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的补集。 $T$ 常称为试验集 (trivial set)。
上述定义等价于：对任意的 $A \subseteq E, B \subseteq E^c$ 都有

$$
m^*(A \cup B)=m^*(A)+m^*(B) .
$$

从这方面上讲，可测集满足的外测度性质是 (有限) 可加性 (可以将上述推广到任意有限个集合上去)，比一般集合 满足的外测度的次可加性要好得多。
在应用定义式时，条件 $(*)$ 可以减弱为

$$
m^*(T) \geqslant m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right),
$$

这是因为外测度已经可以保证上述关系在小于等于时成立。

## 可测集类

有限维欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 上的可测集的全体记作 $\mathcal{M}$ ，它满足以下的基本性质:

1. $\varnothing \in \mathcal{M}$;
2. 若 $A \in \mathcal{M}$ ，则它的补集 $\bar{A} \in \mathcal{M}$;
3. 若 $A_j \in \mathcal{M}, j=1,2, \cdots$ ，则 $\bigcup_{j=1}^{\infty} A_j \in \mathcal{M}$.
   因此，可测集类 $\mathcal{M}$ 构成一个 $\sigma$ 代数。
   由此立刻得出可测集经过有限次并交补差运算后依然是可测集。尤其注意可测集中外测度为零的不一定是空集，因为 零测集都是可测的。
   
   ## 测度

可测集 $E$ 的外测度称为测度，记作 $m(E)$. 除了在上一小节中介绍的代数性质，它还有如下运算（分析）性质：
(可列可加性) 设有一列点集 $\left\{E_n\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{M} ; E_i \cap E_j=\varnothing, \forall i \neq j, i, j \in \mathbb{N}^{+}$，那么

$$
m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty} m\left(E_n\right) .
$$

(单调集合列的极限性质) 设有一单调递增（或递减）的集合列 $\left\{E_n\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}$ ，在递减时要求第一项的测度不是 无穷，那么成立

$$
m\left(\lim _{n \rightarrow \infty} E_n\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} m\left(E_n\right) .
$$

(Fatou 引理) 设有一可测集合列 $\left\{E_n\right\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{M}$ ，每一项的测度都不是无穷，那么有

$$
\begin{gathered}
m\left(\liminf _{n \rightarrow \infty} E_n\right) \leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty} m\left(E_n\right), \\
m\left(\limsup _{n \rightarrow \infty} E_n\right) \geqslant \limsup _{n \rightarrow \infty} m\left(E_n\right) .
\end{gathered}
$$

## Borel 集的关系 。

首先，Borel 集都是可测集。其次，可测集 $E$ 和 Borel 集只相差一个零测集，这是说:

1. ( $H$ 等测包) $E=H-Z_1$ ，其中 $Z_1$ 是零测集， $H$ 是可数个开集的交集，是 Borel 集；
2. ( $F$ 等测核) $E=F \cup Z_2$ ，其中 $Z_2$ 是零测集， $F$ 是可数个闭集的并集，也是 Borel 集。

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