一阶常微分方程

日期: 2023-10-21 21:49 查看: 17 次更新导出Word

一阶常微分方程是经常研究的一类常微分方程，设 $y$ 是变量 $x$ 的函数，那么一阶常微分方程具有形式

$$
F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0
$$

以上形式称为一阶常微分方程的一般形式，如果它能解出未知函数的一阶导数 $y^{\prime}$ ，那么它还有如下形式

$$
y^{\prime}=f(x, y) \quad(* *)
$$

一阶常微分方程的解、通解、特解、初值问题都仿照常微分方程的相关定义。

## 一些初等解法

能解出精确解的一阶常微分方程非常少，主要有变量分离方程、一阶线性微分方程、Bernoulli 方程、一阶齐次微分方程、一阶广义齐次方程、一次有理分式微分方程、恰当微分方程以及一些一阶隐式常微分方程等。

## 解的存在唯一定理

如果二元函数 $f(x, y)$ 在矩形域 $D=\left[x_0-a, x_0+a\right] \times\left[y_0-b, y_0+b\right],(a, b \geqslant 0)$ 上连续且关于 $y$ Lipschitz 连续，即

$$
\exists L>0,\left|f\left(x, y_1\right)-f\left(x, y_2\right)\right| \leqslant L\left|y_1-y_2\right|, \forall\left(x, y_1\right),\left(x, y_2\right) \in D .
$$

则方程 $(* *)$ 在 $x \in\left[x_0-h, x_0+h\right]$ 上存在唯一的满足初值条件 $\left(x_0, y_0\right)$ 的连续解 $y=\varphi(x)$ ，其中 $h=\min \left\{a, \frac{b}{M}\right\}, M=\max _{(x, y) \in D}|f(x, y)|$.

如果一阶常微分方程是由隐式方程 $(*)$ 确定的，那么结合隐函数定理有如下定理:
如果在点 $\left(x_0, y_0, y_0^{\prime}\right)$ 的某一邻域中，有如下条件

1. $F\left(x, y, y^{\prime}\right)$ 对变元 $x, y, y^{\prime}$ 连续，且具有连续偏导数；
2. $F\left(x_0, y_0, y_0^{\prime}\right)=0$;
3. $\frac{\partial F}{\partial y^{\prime}}\left(x_0, y_0, y_0^{\prime}\right) \neq 0$ 。

那么方程 $(*)$ 在 $x \in U\left(x_0\right)$ 内有满足初值条件 $\left(x_0, y_0, y_0^{\prime}\right)$ 的唯一连续解 $y=\varphi(x)$.

这一定理的证明使用到 Picard-Lindelof 逐步逼近法（皮卡迭代），这个方法也是构造一些常微分方程的数值近似解的方法。

## Picard-Lindelof 逐步逼近法

设函数 $f(x, y)$ 在矩形域 $D=\left[x_0-a, x_0+a\right] \times\left[y_0-b, y_0+b\right],(a, b \geqslant 0)$ 上连续且关于 $y$ Lipschitz 连续，则该函数是有界的，记 $h=\min \left\{a, \frac{b}{M}\right\}, M=\max _{(x, y) \in D}|f(x, y)|$.

我们取通过点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的任意连续曲线 $y=\varphi_0(x)$ ，例如 $\varphi_0(x)=y_0, \forall x \in U\left(x_0, h\right)$ ，然后我们假设

$$
\begin{aligned}
\varphi_1(x) & =y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, \varphi_0(t)\right) \mathrm{d} t, \\
\varphi_2(x) & =y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, \varphi_1(t)\right) \mathrm{d} t, \\
\ldots & \\
\varphi_n(x) & =y_0+\int_{x_0}^x f\left(t, \varphi_{n-1}(t)\right) \mathrm{d} t .
\end{aligned}
$$

如果在某一步中，积分得到的 $\varphi_i(x)$ 经检验是原方程的精确解，那么迭代停止，如果一直没有这样的解出现，那么就得到一个函数序列 $\left\{\varphi_n(x)\right\}_{n=0}^{\infty}$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时，至少在 $x \in\left[x_0-h, x_0+h\right]$ 上函数序列 $\left\{\varphi_n(x)\right\}_{n=0}^{\infty}$ 收敛到某个函数 $\varphi(x)$ ，这个极限函数就是依赖初值的特解。

在上述假设下，我们称 $\varphi_n(x)$ 为第 $n$ 次迭代的数值近似解，有下述误差估计

$$
\left|\varphi_n(x)-\varphi(x)\right| \leqslant \frac{M}{L} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{L^k\left|x-x_0\right|^k}{k !} .
$$

或者更进一步，有

$$
\left|\varphi_n(x)-\varphi(x)\right| \leqslant \frac{M L^n}{(n+1) !}\left(x-x_0\right)^{n+1} \leqslant \frac{M L^n}{(n+1) !} h^{n+1} .
$$

## 解的延拓定理

解的存在唯一性定理指出在一个 $x$ 局部邻域 $\left[x_0-h, x_0+h\right]$ 上该方程 $(*)$ 或 $(* *)$ 的解存在且唯一，解的延拓定理可以将它延拓到更大的区间上去。下面我们设 $f(x, y)$ 在平面区域 $E$ 上连续且关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件。

首先引入解的延拓的概念: 设 $\varphi(x), x \in[a, b]$ 是方程 $(* *)$ 初值问题 $\left(x_0, y_0\right)$ 的解，函数 $\psi(x), x \in\left[a_1, b_1\right]$ 也是方程 $(* *)$ 初值问题 $\left(x_0, y_0\right)$ 的解，其中 $[a, b] \subset\left[a_1, b_1\right]$ ，且

$$
\varphi(x)=\psi(x), \forall x \in[a, b]
$$

我们就称解 $\psi(x)$ 是解 $\varphi(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上解的延拓。
如果一个解 $\varphi(x)$ 经过若干次延拓后得到 $\widetilde{\varphi}(x)$ 不能再向左或右继续延拓了，我们就把这个解 $\widetilde{\varphi}(x)$ 称为该方程对于初值问题的饱和解。任意饱和解的最大存在区间一定是一个开区间 $\left(a_0, b_0\right)$.

解的延拓定理是说，在上述假设的前提下由任意一点 $\left(x_0, y_0\right) \in E$ 确定的初值问题的解 $\varphi(x)$ 都可以延拓为饱和解 $\widetilde{\varphi}(x)$ ，且当 $x \rightarrow a_0^{-}$时， $(x, \widetilde{\varphi}(x)) \rightarrow \partial E$ ，对 $b_0$ 同理。

如果 $E$ 是无界区域，那么初值条件 $\left(x_0, y_0\right)$ 延拓的结果有以下三种（以向 $x$ 右方延拓为例）：

1. 可以一直延拓到无穷区间上去，即 $\left[x_0,+\infty\right)$;
2. 只能延拓到有限区间 $\left[x_0, \eta\right)$ ，且当 $x \rightarrow \eta$ 时 $\varphi(x)$ 无界；
3. 只能延拓到有限区间 $\left[x_0, \eta\right)$ ，且当 $x \rightarrow \eta$ 时 $(x, \varphi(x)) \rightarrow \partial E$.

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